Eigenschaften von Umkehrfunktionen

Question

Aufgabe:

Eigenschaften von Umkehrfunktionen/Logarithmen:

\( \begin{array}{ll}b^{\log _{b}(u)}=u & e^{\ln (x)}=x \\ \log _{b}\left(b^{u}\right)=u & \ln \left(e^{x}\right)=x\end{array} \)

Problem/Ansatz:

Hallo!

Mein Tutor hat mir diese Angaben zu den Eigenschaften angegeben. Für meine Hausarbeit für die Logarithmengesetze.Aber ich verstehe leider nicht warum da immer x bzw. u rauskommt. Könnte mir das jemand erklären?

Answer 1

Da kommt immer \(x\) bzw. \(u\) raus, weil der Logarithmus zur Basis \(b\) speziell dazu erfunden wurde, das rückgängig zu machen, was das "Exponenzieren" zur Basis \(b\) angerichtet hat.

\(\log_b(a)\) ist die Zahl, die man für \(x\) in den Ausdruck \(b^x\) einsetzen muss, damit man als Ergebnis \(a\) bekommt.

Comments

Merke dir einfach als Definition von Wurzel bzw. Logarithmus bei bekannter Potenzschreibweise die Äquivalenz der folgenden drei Beziehungen (bei geeigneter Bereichseinschränkung) :

Answer 2

Was ist z.B. √(x²) oder (√x)² für nicht negative Werte von x.

Wenn du eine Funktion und ihre Umkehrfunktion aufeinander anwendest, dann sollte am Ende der anfangs genommene Wert wieder herauskommen.

Answer 3

\(y=e^x\)

Hier soll nun die Umkehrfunktion erstellt werden:

Nach x auflösen:

\(e^x=y\)

\(x*ln(e)=ln(y)\)  mit  \(ln(e)=1\)   

\(x=ln(y)\)

Vertauschung von x,y

\(y=ln(x)\)

Comments

Es soll nun umgekehrt die Umkehrfunktion von \(y=ln(x)\) gefunden werden.

\(ln(x)=y\)

Auflösen nach x:

\(e^{ln(x)}=e^{y}\)

\(x=e^{y}\)

x,y Tausch:

\(y=e^{x}\)

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Erster Beitrag: Die Gültigkeit des Logarithmengesetzes beim Übergang von deiner zweiten zur dritten Zeile nachzuweisen ist doch gerade der Inhalt von ks Hausarbeit.

Zweiter Beitrag : Dein Übergang von der zweiten zur dritten Zeile war doch gerade ks Frage.

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OK, leider kann ich es nicht besser.

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Definitionen kann man nun einmal nicht beweisen und k soll seine Hausarbeit ja selbst machen.