Bestimmen Sie die Umkehrfunktionen in expliziter Form für folgende Funktionen.Mit Erklärung wenn möglich Danke

Question

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3. Bestimmen Sie die Umkehrfunktionen in expliziter Form für folgende Funktionen.
(a) \( f(x)=e^{x}-1 \)
(b) \( g(x)=\tanh (x)=\frac{\sinh (x)}{\cosh (x)}=\frac{e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}} \)
(c)
\( h(x)=\left\{\begin{array}{lcc} x^{2}-2 x+3 & \text { für } \quad x<1 \\ -x^{2}+2 x+1 & \text { für } \quad x \geq 1 \end{array}\right. \)

Answer 1

a) Vertausche x und y

und löse nach y auf!

e^x-1 = y

b) und c) analog

Answer 2

Setze einfach \( y=e^{x}-1 \) und löse nach x auf

           \( y=e^{x}-1 \)

<=>  \(    y+1=e^{x} \)

<=>  \(    ln(y+1)=x \)

Also ist die Gl. der Umkehrfunktion   \( f^{-1}(x)=   ln(x+1) \)

Und bei \( y=\frac{e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}} \)

<=>   \( y\cdot (e^{x}+e^{-x})=e^{x}-e^{-x}\)

<=>  \( (y-1)\cdot e^{x}= e^{-x}( -y-1)\)

<=>  \(   \frac{e^{x}}{e^{-x}} = \frac { -y-1  }{y-1}\)

<=>  \(  e^{2x} = \frac { y+1  }{1-y}\)

<=>  \(  2x= ln (\frac { y+1  }{1-y} ) \)

<=>  \(  x= 0,5ln (\frac { y+1  }{1-y} ) \)

Also   \(  g^{-1}(x)= 0,5ln (\frac { x+1  }{1-x} ) \)

s. auch

https://de.wikipedia.org/wiki/Tangens_hyperbolicus_und_Kotangens_hyperbolicus#Umkehrfunktionen

Answer 3

3a)

\(y=e^{x}-1 \)         Tauschen von x und y :  

\(x=e^{y}-1 \)         Nach y auflösen:

\(e^{y}=x+1 \)

\(y*ln e=ln(x+1)\)       \(ln e=1\)

\(y=ln(x+1)\)

Comments

3b)

\( y=\frac{e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}=\frac{e^{x}-\frac{1}{e^{x}}}{e^{x}+\frac{1}{e^{x}}}=\frac{e^{2 x}-1}{e^{2 x}+1} \)
Tausch \( x, y \) :
\( x=\frac{e^{2 y}-1}{e^{2 y}+1} \)
Auflösen nach \( y \) :
\( \begin{array}{l} x \cdot\left(e^{2 y}+1\right)=e^{2 y}-1 \\ x \cdot e^{2 y}+x=e^{2 y}-1 \\ x \cdot e^{2 y}-e^{2 y}=-1-x \mid \cdot(-1) \\ -x \cdot e^{2 y}+e^{2 y}=1+x \\ e^{2 y}-x \cdot e^{2 y}=1+x \\ e^{2 y} \cdot(1-x)=1+x \\ e^{2 y}=\frac{1+x}{1-x} \\ 2 y=\ln \left(\frac{1+x}{1-x}\right) \\ y=\frac{\ln \left(\frac{1+x}{1-x}\right)}{2} \end{array} \)