Bewegungsaufgabe lösen 1.

Question

Aufgabe:

Bewegungsaufgabe 1

Die Bewegung eines Fahrzeugs kann durch die folgende Gleichung beschrieben werden: \( v(t)=-5 t^{3}+15 t^{2}+30 t \). Diese Funktion gilt im Intervall \( [0 ; 3] \) und gibt die Momentangeschwindigkeit nach \( \mathrm{t} \) Stunden Fahrzeit an.

Stellen Sie diese Funktion grafisch in einem geeigneten Koordinatensystem dar.
Berechnen Sie die Höchstgeschwindigkeit.
Berechnen Sie den Zeitpunkt der größten Geschwindigkeitszunahme.
Berechnen Sie den Weg, den das Fahrzeug in der dritten Stunde zurücklegt.
Berechnen Sie die Durchschnittsgeschwindigkeit des Fahrzeugs im definierten Zeitraum.

Nach drei Stunden wird die Momentangeschwindigkeit durch eine lineare Funktion beschrieben, wobei das Fahrzeug am Ende der vierten Stunde zum Stillstand kommt.

Bestimmen Sie die Gleichung dieser Funktion.
Berechnen Sie den in dieser Stunde zurückgelegten Weg.
Berechnen Sie die Durchschnittsgeschwindigkeit in den gesamten vier Stunden.

Bewegungsaufgabe 2

...

Problem/Ansatz:

Erstmals hätte ich eine Frage zu diesen 2 Bewegungsaufgaben. Könntet ihr mir bei der ersten Aufgabe helfen, damit versuche ich die 2 Aufgabe selbstständig zu lösen.

Comments

Dein Akkuladestand (der Deines Telefons) von 37 % interessiert hier eigentlich eher weniger :)

Answer 1

Wo liegen denn die Probleme

Stellen Sie diese Funktion grafisch in einem geeigneten Koordinatensystem dar.

Im Zweifel gilt hier Wertetabelle machen und die Werte in ein Koordnatensystem einzeichnen.

~plot~ -5x^3+15x^2+30x;[[0|3|0|100]] ~plot~

Das ist ja mal eine total absurde Geschwindigkeitsfunktion, aber egal.

Comments

Danke für die Grafik, wissen Sie wie ich die Höchstgeschwindigkeit berechnen kann? Muss ich erst auf die Stammformel kommen und dann mit den Grenzen von 0 bis 3 integrieren?

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Grafisch kannst du die Höchstgeschwindigkeit bereits am Graphen ungefähr ablesen.

Nach ca. 2.7 Stunden erreicht das Fahrzeug die Höchstgeschwindigkeit von ca. 92 km/h. Achtung, die Einheit der Geschwindigkeit war in der Aufgabe nicht gegeben und wurde von mir passend ergänzt.

Dieses maximum kannst du jetzt auch rechnerisch ermitteln. Du suchst ja einfach den Hochpunkt des Graphen. Wie man den bestimmt weißt du sicher.

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naja wie man es von der Grafik aus berechnet haben wir noch nicht gelernt aber die Geschwindigkeitszunahme kann ich auch von der Grafik ablesen oder? Danke für Ihre zeit im Voraus, ich hoffe ich störe Sie nicht.

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Das man Extrempunkte berechnet indem man die erste Ableitung gleich null setzt habt ihr noch nicht gehabt? Das würde mich wundern. Wenn ihr inzwischen auch Integrale berechnen sollt.

Berechnen Sie den Zeitpunkt der größten Geschwindigkeitszunahme.

Gefragt ist hier nach der Stelle des Wendepunktes, also die x-Koordinate an der der Graph am stärksten ansteigt. Das ist aus dem Graphen bei etwa 1 abzulesen.

Also nach einer Stunde beschleunigt das Fahrzeug am stäkrsten.

Answer 2

\( v(t)=-5 t^{3}+15 t^{2}+30 t \)

Berechnen Sie die Höchstgeschwindigkeit.

\( v´(t)=-15 t^{2}+30 t+30 \)

\( -15 t^{2}+30 t+30=0→t^{2}-2t=2 \)

\((t-1)^{2}=2+1=3|\sqrt{} \)

1.) \(t₁=1+\sqrt{3} \)

\( v(t₁)=-5 *(1+\sqrt{3})^{3}+15 *(1+\sqrt{3})^{2}+30* (1+\sqrt{3})≈91,96 \)

2.) \(t₂=1-\sqrt{3} \) kommt nicht in Betracht

Comments

Berechnen Sie den Zeitpunkt der größten  Geschwindigkeitszunahme

\(v´´(t)=-30 t+30  \)

\(-30 t+30=0→ t=1  \)

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Berechnen Sie den Weg, den das Fahrzeug in der dritten Stunde zurücklegt.

Den zurückgelegten Weg s(t) bekommst du durch Integration der Geschwindigkeit v(t):

\( \begin{array}{l} s(t)=\int \limits_{2}^{3}\left(-15 t^{3}+15 t^{2}+30 t\right) \cdot d t=\left[-\frac{15}{4} t^{4}+5 t^{3}+15 t^{2}\right]_{2}^{3}= \\ =\left[-\frac{15}{4} \cdot 3^{4}+5 \cdot 3^{3}+15 \cdot 3^{2}\right]-\left[-\frac{15}{4} \cdot 2^{4}+5 \cdot 2^{3}+15 \cdot 2^{2}\right]=-73,75 \end{array} \)
Da es keine Negativstrecken gibt, gilt \( |-73,75 \mathrm{~km}|=73,75 \mathrm{~km} \)

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Da die Geschwindigkeit im Interval [2h, 3h] durchgängig positiv war, kann das Integral nicht negativ sein. Man kann sich ja mal vertippen/verrechnen, aber diese Grütze muss man doch bemerken!

Du hast eine ganz andere Funktion integriert.

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Danke! Habe mich aber schon gewundert, warum da eine negative Wegstrecke rauskommt.

Richtigerweise muss  \( v(t)=-5 t^{3}+15 t^{2}+30 t \) in den Grenzen 2 und 3 integriert werden.