Aloha :)
Wir untersuchen, ob die folgende Summe konvergiert:$$S_N(x)=\sum\limits_{n=1}^N\frac{\cos((2n-1)x)}{(2n-1)^2}$$
Nach der Dreiecksungleichung, \(|a+b|\le|a|+|b|\), gilt:$$\left|S_N(x)\right|=\left|\sum\limits_{n=1}^N\frac{\cos((2n-1)x)}{(2n-1)^2}\right|\le\sum\limits_{n=1}^N\left|\frac{\cos((2n-1)x)}{(2n-1)^2}\right|\le\sum\limits_{n=1}^N\frac{1}{(2n-1)^2}$$
Die letzte Abschätzung gilt, weil die Cosinus-Funktion nur Werte zwischen \(-1\) und \(1\) liefert. Wir ziehen den Summanden für \(n=1\) aus der letzten Summe raus:$$\left|S_N(x)\right|\le\sum\limits_{n=1}^N\frac{1}{(2n-1)^2}=\frac{1}{(2\cdot1-1)^2}+\sum\limits_{n=2}^N\frac{1}{(2n-1)^2}=1+\sum\limits_{n=2}^N\frac{1}{(2n-1)(2n-1)}$$
Jetzt beginnt die Summe bei \(n=2\) und wir können für \(N\ge2\) den Nenner etwas verkleinern, wodurch wir den Bruch etwas vergrößern:$$\left|S_N(x)\right|\le1+\sum\limits_{n=2}^N\frac{1}{(2n-1)(2n-1)}<1+\sum\limits_{n=2}^N\frac{1}{(2n-3)(2n-1)}$$$$\phantom{\left|S_N(x)\right|}=1+\frac12\sum\limits_{n=2}^N\frac{2}{(2n-3)(2n-1)}=1+\frac12\sum\limits_{n=2}^N\left(\frac{1}{2n-3}-\frac{1}{2n-1}\right)$$$$\phantom{\left|S_N(x)\right|}=1+\frac12\left(\sum\limits_{n=2}^N\frac{1}{2n-3}-\sum\limits_{n=2}^N\frac{1}{2n-1}\right)=1+\frac12\left(\sum\limits_{n=1}^{N-1}\frac{1}{2(n+1)-3}-\sum\limits_{n=2}^N\frac{1}{2n-1}\right)$$$$\phantom{\left|S_N(x)\right|}=1+\frac12\left(\sum\limits_{n=1}^{N-1}\frac{1}{2n-1}-\sum\limits_{n=2}^N\frac{1}{2n-1}\right)$$$$\phantom{\left|S_N(x)\right|}=1+\frac12\left(\frac{1}{2\cdot1-1}+\sum\limits_{n=2}^{N-1}\frac{1}{2n-1}-\sum\limits_{n=2}^{N-1}\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2N-1}\right)$$$$\phantom{\left|S_N(x)\right|}=1+\frac12\left(1-\frac{1}{2N-1}\right)$$Eine kurze Überprüfung zeigt, dass diese Abschätzung auch für \(N=1\) gilt.
Damit gilt für alle \(x\in\mathbb R\):$$\left|\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{\cos((2n-1)x)}{(2n-1)^2}\right|\le\lim\limits_{N\to\infty}\left(1+\frac12\left(1-\frac{1}{2N-1}\right)\right)=\frac32$$Die Summe konvergiert also für alle \(x\in\mathbb R\).
