Aloha :)
zu a) Wenn wir die Punkte in ein Koordinatensystem eintragen, erkennen wir deutlich einen exponentiellen Verlauf.
~plot~ {0|100}; {10|52,3}; {20|24,1}; {30|14}; {40|5,9}; {50|3}; {60|1,8} ; [[-10|70|0|110]] ~plot~
zu b) Zur Prüfung bilden wir von den \(y\)-Werten den natürlichen Logarithmus und prüfen, ob diese Werte näherungsweise auf einer Geraden liegen.
~plot~ [[-10|70|0|5]] ; {0|4,605} ; {10|3,957}; {20|3,182} ; {30|2,639} ; {40|1,775} ; {50|1,099}; {60|0,588} ~plot~
zu c) In a) haben wir einen exponentiellen Verlauf erkannt:$$f(x)=a\cdot e^{bx}$$In b) haben wir davon den natürlichen Logarithmus gebildet und einen sehr guten linearen Verlauf erhalten:$$\ln f(x)=\ln\left(a\cdot e^{bx}\right)=\ln(a)+\ln(e^{bx})=\ln(a)+bx$$Wir bestimmen nun mittels linearer Regression die Geradengleichung bzw. die Werte für \(\ln(a)\) und \(b\).$$\begin{array}{rrr}x & f(x) & \ln f(x)\\\hline0 & 100,0 & 4,60517019\\10 & 52,3 & 3,95699637\\20 & 24,1 & 3,18221184\\30 & 14,0 & 2,63905733\\40 & 5,9 & 1,77495235\\50 & 3,0 & 1,09861229\\ 60 & 1,8 & 0,58778666\end{array}$$
Das führt uns für unsere Näherung auf folgendes Gleichungssystem:$$\begin{array}{rrr}\ln(a) & b & =\ln f(x)\\\hline1 & 0 & 4,60517019\\1 & 10 & 3,95699637\\1 & 20 & 3,18221184\\1 & 30 & 2,63905733\\1 & 40 & 1,77495235\\1 & 50 & 1,09861229\\1 & 60 & 0,58778666\end{array}$$
Dieses Gleichungssystem ist überbestimmt, d.h. es gibt mehr Gleichungen als Unbekannte, sodass wir nicht alle Gleichungen erfüllen können. Wir können aber eine Lösung finden, die die Summe der quadrierten Abweichungen minimiert. Dazu schreiben wir das Gleichungssystem in Matrixform auf:$$\left(\begin{array}{rr}1 & 0\\1 & 10\\1 & 20\\1 & 30\\1 & 40\\1 & 50\\1 & 60\end{array}\right)\binom{\ln(a)}{b}=\left(\begin{array}{r}4,60517019\\3,95699637\\3,18221184\\2,63905733\\1,77495235\\1,09861229\\0,58778666\end{array}\right)$$
Dann multiplizieren wir diese Matrixgleichung von links mit der transponierten Koeffizientenmatrix, um die sog. Normalengleichung zu erhalten. Für die linke Seite ist:$$\begin{pmatrix}1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\0 & 10 & 20 & 30 & 40 & 50 & 60\end{pmatrix}\left(\begin{array}{rr}1 & 0\\1 & 10\\1 & 20\\1 & 30\\1 & 40\\1 & 50\\1 & 60\end{array}\right)\binom{\ln(a)}{b}=\begin{pmatrix}7 & 210\\210 & 9100\end{pmatrix}\binom{\ln(a)}{b}$$und für die rechte Seite kommt raus:$$\begin{pmatrix}1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\0 & 10 & 20 & 30 & 40 & 50 & 60\end{pmatrix}\left(\begin{array}{r}4,60517019\\3,95699637\\3,18221184\\2,63905733\\1,77495235\\1,09861229\\0,58778666\end{array}\right)=\begin{pmatrix}17,84478703\\343,58182877\end{pmatrix}$$
Das so erhaltene Gleichungssystem$$\begin{pmatrix}7 & 210\\210 & 9100\end{pmatrix}\binom{\ln(a)}{b}=\begin{pmatrix}17,84478703\\343,58182877\end{pmatrix}$$ist nun eindeutig lösbar:$$\binom{\ln(a)}{b}=\begin{pmatrix}7 & 210\\210 & 9100\end{pmatrix}^{-1}\begin{pmatrix}17,84478703\\343,58182877\end{pmatrix}=\binom{4,60384581}{-0,06848635}$$
Damit ist \(a=e^{\ln(a)}\approx99,87\) und \(b\approx-0,0685\), sodass:$$\boxed{f(x)\approx99,87\cdot e^{-0,0685\cdot x}}$$
~plot~ {0|100}; {10|52,3}; {20|24,1}; {30|14}; {40|5,9}; {50|3}; {60|1,8} ; 99,87*e^(-0,0685*x) ; [[-10|70|0|110]] ~plot~
