Beweis einer Trigo-Identität

Question

Aufgabe: Beweis (sin α – sin β)/( sin α + sin β) = (a–b)/(a+b)

Problem/Ansatz:

Wenn ich für sin α = (a mal sin β)/b setze (oder entsprechend für sin β = (b mal sin α) /a), komme ich nicht zu dem gewünschten Ergebnis. Wie aber dann?

Answer 1

Ausgehend vom Sinussatz forme wie folgt um:$$\phantom{\iff}\frac{\sin\alpha}{\sin\beta}=\frac ab\\\iff\frac{\sin\alpha}{\sin\beta}+1=\frac ab+1\\\iff\frac{\sin\alpha+\sin\beta}{\sin\beta}=\frac{a+b}b\\\iff\frac{\sin\beta}{\sin\alpha+\sin\beta}=\frac b{a+b}\\\iff1-\frac{2\sin\beta}{\sin\alpha+\sin\beta}=1-\frac{2b}{a+b}\\\iff\underline{\underline{\frac{\sin\alpha-\sin\beta}{\sin\alpha+\sin\beta}=\frac{a-b}{a+b}}}.$$

Comments

Danke! Darauf wäre ich allein nicht gekommen! G.R.

---

Hallo Arsinoë4!
Noch einmal dankeschön für diese erstaunliche (und erstaunlich prompte) Lösung! Erstaunlich ist sie für mich, weil darin algebraische Operationen angewandt werden, die ich von der Schule her nicht kenne.
1. Gibt es ein Buch oder eine Internetseite, wo man solche fortgeschrittenen algebraischen Operationen studieren und üben kann?
2. Wieso ist das ein Beweis, nachdem die ursprüngliche Identität algebraisch manipuliert wurde, so dass am Ende die gleiche Identität herauskam?

---

Hallo gr5959!
2. Es wurden folgende Umformungen vorgenommen: Erst wurde eine \(1\) addiert, dann die Kehrwerte gebildet und schließlich mit \(-2\) multipliziert und nochmal eine \(1\) addiert. Ansonsten kommt noch übliche Bruchrechnung zum Einsatz.
Ein Beweis ist es, weil es sich um Äquivalenzumformungen handelt. Da die Ausgangsgleichung bekanntlich Gültigkeit hat, gilt dies auch für alle folgenden Gleichungen, insbesondere für die letzte.
1. Soweit ich weiß, gibt es auch hier auf mathelounge Gelegenheiten, sich diese Kenntnisse anzueignen. Vielleicht kann ein Mod/Red Genaueres dazu sagen.

---

Die geschilderten Rechenoperationen habe ich wohl nach einigen Mühen mit dem Nachvollziehen verstanden. Was ich Laie allerdings gern lernen möchte, ist das Vorauswissen, wann welche Operation angebracht ist. Doch das lernt man wohl nur durch Erfahrung, oder?

---

Da hast du sicherlich Recht.

---

Was ich Laie allerdings gern lernen möchte, ist das Vorauswissen, wann welche Operation angebracht ist.

Ein spezielles 'Vorauswissen' ist i.A. gar nicht notwendig. Ich weiß natürlich nicht, wie Arsinoë4 letztendlich vorgegangen ist, aber ich würde so ein Problem 'kneten'. Wie kommt man von einem Term wie \(a/b\) zu irgendeinen anderen, der \(a+b\) enthält? Einer meiner früheren Profs nannte das mal 'intelligentes Probieren'.

Viele Menschen, die von sich sagen 'ich kann kein Mathe', fangen gar nicht erst an! Un das ist der größte Fehler! Ich habe hier im Forum schon Antworten geschrieben, wo mir der Lösungsweg am Anfang unbekannt war. Man muss einfach mal anfangen, wenn's dann nicht klappt versucht man was anderes oder fragt nach Hilfe. Aber erst danach!