Beweis für Trigo-Identität

Question

Aufgabe:

Wie beweist man (sin alpha - sin beta)/ (sin alpha + sin beta) =( a - b)/a + b)

Problem/Ansatz:

Ich denke, man muss vom Sinussatz ausgehen, aber wie dann weiter?

Answer 1

\( \frac{sinα - sin β}{sin α + sin β}=\frac{a-b}{a+b} \)

\( \frac{sinα}{a }= \frac{sinβ}{b } \)

\(sinα=\frac{a*sinβ}{b } \)

\( \frac{\frac{a*sinβ}{b }- sin β}{\frac{a*sinβ}{b } + sin β}=\frac{a-b}{a+b} \)

\( \frac{\frac{a*sinβ-b*sinβ}{b }}{\frac{a*sinβ+b*sinβ}{b } }=\frac{a-b}{a+b} \)

Der letzte Schritt ist nun nicht mehr schwer.

Comments

Dieses als "beste Antwort" gekürte Machwerk ist ein Musterbeispiel dafür, wie man Beweise nicht führen darf.

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@abakus Wie sieht dann nun der einwandfreie Beweis aus?

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Ein Beweis, der von der Behauptung ausgeht, disqualifiziert sich selbst.

Selbst wenn man deine erste Zeile (wohlmeinend) nur als Zitat der Aufgabenstellung akzeptiert: Nach dem Zitat des Sinussatzes in der zweiten Zeile und einer Umstellung davon in der dritten Zeile bringst du in der vierten Zeile schon wieder eine Gleichung, auf deren rechter Seite unbewiesen \( \frac{a-b}{a+b} \) erscheint.

Es ist nicht deine erste Fehlleistung dieser Art.

Lass doch einfach die Finger von Beweisaufgaben, bis du das grundlegende Prinzip solcher Aufgaben verstanden hast.

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Ich melde mich hier als derjenige, der mit der Aufgabe nicht klarkam und sie deshalb auf MatheLounge postete. Ich hatte gefragt: "Wieso ist das ein Beweis, nachdem die ursprüngliche Identität algebraisch manipuliert wurde, so dass am Ende die gleiche Identität herauskam?" Vielleicht habe ich mich damit der Irreführung schuldig gemacht, denn das amerikanische Lehrbuch, in dem ich die Aufgabe gefunden habe, verlangt nur zu ZEIGEN (show), dass die Gleichung richtig sei. Also ist kein Beweis verlangt, oder?

Also: Show that

(sin alpha minus sinus beta) / (sin alpha plus sinus beta) = (a minus b) / (a plus b).

Darf ich hier gleich eine weitere Aufgabe anfügen, mit der ich nicht zurechtkomme? Auch hier ist verlangt, zu zeigen, dass die Gleichung stimmt.

[2 cos 1/2 (alpha plus beta) mal sin 1/2 (alpha minus beta)] / [2 sin 1/2 (alpha plus beta) mal cos 1/2 (alpha minus beta)] = (a minus b) / (a plus b).

Ich nehme an, dass auch hier durch algebraische Manipulationen die linke Seite so lange verändert werden muss, dass sie mit der rechten identisch wird. Aber mit welchen algebraischen Operationen?

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Auch in Deutschland hat sich die Unsitte verbreitet, "zeige" zu schreiben, wenn man eigentlich einen Beweis will.

Da es sich bei (a minus b) / (a plus b). um den gleichen Term wie in der ersten Aufgabe handelt, musst du nur die Identität der linken Seiten beider Aufgaben "zeigen" (also beweisen). Die Kenntnis von Additionstheoremen sowie Halb-. und Doppelwinkelfunktionen ist sicher hilfreich.

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Ja, wird hier nun ein Beweis verlangt oder nicht? Und wie löse ich die zitierte Aufgabe, soll ich beweisen (was ich nicht kann) oder soll ich die linke Seite so umformen ähnlich wie es asinoë4 es gemacht hat und was ich mit der neuen Aufgabe nicht zuwege bringe?

Bitte nicht nur tadeln, sondern auch konstruktiv helfen!

Das heutige Motto von Mathelounge ermutigt mich: "Es gibt keine blöden Fragen. Es gibt nur Blöde, die nicht fragen."

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Ja, hier wird ein Beweis verlangt, und ich würde versuchen, Teilterme wie
cos(\( \frac{α}{2} \)+\( \frac{β}{2} \) )und sin(\( \frac{α}{2} \)+\( \frac{β}{2} \))
und cos(\( \frac{α}{2} \)-\( \frac{β}{2} \)) und sin(\( \frac{α}{2} \)-\( \frac{β}{2} \)) über Additionstheoreme anders darzustellen.

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Danke für die Hilfe! G.R.

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Die Aufgabe war: Zeige, dass

[2 cos ½ (alpha plus beta) mal sin ½ (alpha minus beta)] /[ 2 sin ½ (alpha plus beta) mal cos ½ (alpha minus beta)] = (a minus b) / (a plus b)

( = (sin alpha minus sin beta) / (sin alpha + sin beta) , was ich vorher schon "bewiesen" habe.

Ich habe, dem von abakus Vorschlag folgend, aus den Additionstheoremen für cos alpha ±cos beta die Werte für cos und sin ((alpha ± beta)/2) herausgerechnet und in die obige Aufgabe eingesetzt. Für (a minus b)/(a + b) habe ich, wie vorher schon berechnet, (sin alpha minus sin beta)/(sin alpha plus sin beta) gesetzt. Leider bin ich da steckengeblieben, vermutlich habe ich einen Rechenfehler gemacht.
Doch der kümmert mich weniger als die Frage, ob denn solche Manipulationen (Ersetzung einzelner Terme durch gleiche Werte, die aus anderen Trigo-Identitäten stammen) nun als Beweis gelten. In diesem Thread wurde so etwas einmal heftig getadelt, dann wieder als "Beweis" bezeichnet.