Sei A die Matrix A = ... Bestimmen Sie Rg(A).

Question

Sei A die Matrix

\( A = \left( \begin{array} { c c c c } { 1 } & { a } & { a ^ 2 } & { a ^ 3 } \\ { a } & { a ^ 2 } & { a ^ 3 } & { 1 } \\ { a ^ 2 } & { a ^ 3 } & { 1 } & { a } \\ { a ^ 3 } & { 1 } & { a } & { a ^ 2 } \end{array} \right) \)

Bestimmen Sie Rg(A).

Answer 1

[1, a, a^2, a^3]
[a, a^2, a^3, 1]
[a^2, a^3, 1, a]
[a^3, 1, a, a^2]

II' = a*I - II
III' = a^2*I - III
IV' = a^3*I - IV

[1, a, a^2, a^3]
[0, 0, 0, a^4-1]
[0, 0, a^4-1, a^5-a]
[0, a^4-1, a^5-a, a^6 - a^2]

Jetzt sehen wir schon das das System linear Unabhängig ist und somit der Rang 4 ist. Damit es noch deutlicher wird teile ich hier mal durch a^4-1:

[1, a, a^2, a^3]
[0, 0, 0, 1]
[0, 0, 1, a]
[0, 1, a, a^2]