Wie berechne ich das Integral von 1/√|1-x^2|? Grenzen 0 und 2.

Question

Wie kann ich folgendes Integral berechnen?

\( \int \limits_{0}^{2} \frac{d x}{\sqrt{\left|1-x^{2}\right|}} \)

Answer 1

∫ (0 bis 2) 1/√(|1 - x^2|)

 

für x <= 1

f(x) = 1/√(1 - x^2)
F(x) = ARCSIN(x)

∫ (0 bis 1) f(x) = F(1) - F(0) = ARCSIN(1) - ARCSIN(0) = pi/2

 

für x >= 1

f(x) = 1/√(x^2 - 1)
F(x) = LN(√(x^2 - 1) + x)

∫ (1 bis 2) f(x) = F(2) - F(1) = LN(√3 + 2) - 0 =

∫ (0 bis 2) 1/√(|1 - x^2|) = pi/2 + LN(√3 + 2) = 2.887754223

Comments

Wieso kannst du für x>=1 die Formel zu f(x) = 1/√(x^2 - 1) umstellen? In der Klammer war doch ursprünglich (1-x^2) gegeben und nicht (x^2-1)

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|1 - x^2|

Wenn ich für x Werte > 1 einsetze dann wird der Ausdruck unter den Betragsstrichen negativ. D.h. ohne Betragsstriche wird daraus

-(1 - x^2)

Das Minus kehrt hier das negative Vorzeichen in der Klammer um.

Nun kann ich die Klammer auflösen

x^2 - 1

Fertig.