Gib die Definitionsmenge, Nullstellen, Extrema und Asymptoten von ft(x) = 4/√(2tx-x^2) an

Question

Funktion f_t  ist gegeben durch f_t(x) = 4/√(2tx-x²)

a) Gib die Definitionsmenge von f_t an. Untersuche auf Nullstellen, Extrema und Asymptoten.

b) Zeichne die Schaubilder K₁, K₂ und K₃ der Funktionen f₁, f₂ und f_3.

c) Auf welcher Kurve liegen die Extrempunkte aller Schaubilder K_t ?

Comments

Steht wirklich nur die 2 unter der Wurzel? Wenn nicht, was genau auch noch?

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unter der Wurzel steht alles nachfolgende : 2tx-x²

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EDIT: Nötige Klammer oben eingefügt.

Answer 1

Lautet die Funktion wie folgt ?

f(x) = 4/√(2·t·x - x^2)

f'(x) = 4·(x - t)/(x·(2·t - x))^{3/2}

f''(x) = 4·(2·x^2 - 4·t·x + 3·t^2)/(x·(2·t - x))^{5/2}

Comments

ich bin der Meinung die erste Ableitung ist:

f'_t (x)= 4*(2t-2x)*(-1/2*(2tx-x²)^-3/2

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Ja. Mein Term ist ja der gleiche wie deiner nur noch etwas vereinfacht. Du kannst die Klammer gleich mal -1/2 nehmen dann hast du (x - t) und die -1/2 fällt weg. Dann kann man unter der Wurzel noch ein x ausklammern. Das muss man aber nicht machen.

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ok. aber wie mache ich das mit den Extrempunkten?

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Für Extremstellen ist die notwendige Bedingung, dass die erste Ableitung Null wird. Diese ist ein Bruch und der wirt Null wenn der Zähler Null wird. Also das ist hier bei x = t der Fall.

Um den Punkt zu bekommen brauchst du noch die Y-Koordinate die du durch einsetzen in f(x) erhältst. Außerdem wäre die Art des Extreme zu zeigen. Eventuell hinreichende Bedingung nutzen. Dafür habe ich dort die zweite Ableitung hingeschrieben.