Ist diese Funktion bijektiv?

Question

Aufgabe:

Die Funktion f: R₀⁺ -> R₀⁺  mit f(x)= \( \sqrt{x²} \) ist bijektiv.

wahr oder falsch?

Problem/Ansatz:

Bijektiv nur wenn surjektiv und Injektiv.

Surjektiv ist es, bei Injektiv bin ich mir unsicher. Die Wurzel hebt sich ja durch das Quadrat auf, dann würde ja f(x) = x stehen, so würde ich es jetzt denken. Wenn ich für x eine Zahl einsetzte kommt ja die gleiche wieder raus. Bsp.: f(1)=1

Meine frage ist jetzt, ob es Injektiv ist weil ja jedem Wert ein Zielelement zu genordnet sein muss. Kann es denn die gleiche Zahl sein, so wie im Beispiel, oder muss es ein anderes Element ein (also andere Zahl und nicht die gleiche)?

Vielen Dank im Voraus!:)

Answer 1

Definitionsbereich \(D\) und Wertebereich \(W\) sind hier gleich:

\(D=W=\mathbb{R}_0^+\). \(f\) ist bijektiv, da \(f=id_D\) ist.

Answer 2

Hallo :)

|x| ist hier injektiv. (habe weder die Wurzel noch den Definitionsbereich gescheit angezeigt bekommen, sorry)

Comments

Hebt sich x²  mit der wurzel nicht auf dann ? :)

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Der Def.bereich ist eingeschränkt.

Die Zuordnung ist also eindeutig.

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Sorry mir wurde gar keine Wurzel angezeigt

Und der Definitionsbereich auch nicht...

Answer 3

Hier der Graph deiner Funktion:

Comments

und was schließen wir daraus ?

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Omnia dicenda dicta sunt.