Aloha :)
Willkommen in der Mathelounge... \o/
Die ersten beiden Teilaufgaben brauchst du nur durchzurechnen:$$z_1=(1-i)^3=1^3-3\cdot1^2\cdot i+3\cdot1\cdot i^2-i^3\stackrel{(i^2=-1)}{=}1-3i-3+i=-2-2i$$$$z_2=\frac{3i}{2+5i\,\sqrt2}=\frac{3i^2}{2i+5i^2\sqrt2}\stackrel{(i^2=-1)}{=}\frac{-3}{2i-5\sqrt2}=\frac{-3(2i+5\sqrt2)}{(2i-5\sqrt2)(2i+5\sqrt2)}$$$$\phantom{z_2}=\frac{-6i-15\sqrt2}{(2i)^2-(5\sqrt2)^2}=\frac{-6i-15\sqrt2}{-4-50}=\frac{15\sqrt2+6i}{54}=\frac{5\sqrt2}{18}+\frac19\,i$$
Für die dritte Teilaufabe brauchen wir die Euler-Formel \(e^{\pm i\varphi}=\cos\varphi+i\,\sin\varphi\):$$z_3=\sqrt{2}+\sqrt2\,i=2\left(\frac{1}{\sqrt2}+\frac{1}{\sqrt2}\,i\right)=2\left(\cos\frac\pi4+i\,\sin\frac\pi4\right)=2\,e^{i\pi/4}$$
Wenn du diese Umformung nicht direkt erkennst, kannst du für die Polardarstellung \(z=r\cdot e^{i\varphi}\) auch den Betrag \(r\) und das Argument \(\varphi\) rein formal bestimmen:$$r=\sqrt{\operatorname{Re}^2+\operatorname{Im}^2}=\sqrt{\left(\sqrt2\right)^2+\left(\sqrt2\right)^2}=\sqrt{2+2}=\sqrt4=2$$$$\varphi=\arccos\left(\frac{\operatorname{Re}}{r}\right)=\arccos\left(\frac{\sqrt2}{2}\right)=\arccos\left(\frac{1}{\sqrt2}\right)=\frac\pi4$$
