Zeige, dass für alle reelle Zahlen a, b ∈ R gilt

Question

Aufgabe: (Direkte Beweise – Reelle Zahlen)

Zeige, dass für alle reelle Zahlen a, b ∈ R gilt
ab ≤ 1/2 (a²+ b²).

Problem/Ansatz: Weiß jemad wie man das hier lösen könnte? ich verstehe die Aufgabe nicht.

Answer 1

Um hier auf eine Idee zu kommen kannst du z.B. annehmen die Ungleichung gälte und dann durch Äquivalenzumformungen auf eine wahre Aussage kommen.

\( \begin{aligned} a b \leq \frac{1}{2}\left(a^{2}+b^{2}\right) & \Longleftrightarrow 0 \leq -a b+\frac{1}{2} a^{2}+\frac{1}{2} b^{2} \\ & \Longleftrightarrow 0 \leq -2 a b+a^{2}+b^{2} \\ & \Longleftrightarrow 0 \leq(a-b)^{2} \end{aligned} \)
Die letzte Aussage ist natürlich wahr.

Answer 2

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Wir starten damit, dass alle Quadratzahlen \(\ge0\) sind:$$0\le(a-b)^2=a^2-2ab+b^2\implies 2ab\le a^2+b^2\implies ab\le\frac{a^2+b^2}{2}$$