Für welche Werte von b hat die Funktion an der Stelle x=-1 ein Extremum?

Question

Aufgabe:

Problem/Ansatz:

Text erkannt:

Extremwerte: Gegeben sei die Funktion
\( f(x)=x^{3}+b(x-1) \)
mit einem reellen Parameter \( b \).
a) Für welche Werte von \( b \) hat die Funktion an der Stelle \( x=-1 \) ein Extremum?
b) Gibt es einen Wert \( b \), so dass die Funktion in \( x=-2 \) ein Minimum hat?

ich benötige bei dieser Aufgabe eure Hilfe :-)

Viele Grüße

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also -1=3*(-1)^2+b

-4=b

Ist die a so richtig?

Answer 1

f ( x ) = x^3 + b * ( x - 1 )
f ´( x ) = 3 * x^2 + b
x = -1
f ´( -1 ) = 3 * (-1)^2 + b
f ´( -1 ) = 3 + b
Waagerechte Tangente
3 + b = 0
b = -3

f ´( x ) = 3 * x^2 + b
x = -2
3 * (-2)^2 + b = 0
12 + b = 0
b = -12

Krümmung
f ( x ) = x^3 -12 * ( x - 1 )
f ´ ( x ) = 3*x^2 - 12
f ´´( x ) = 6 * x
f ´´ (-2) = -12
negativ = Rechtskrümmung
= Hochpunkt

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Hallo MBstudent,

anbei der Graph der Funktion $$f(x)=x^3+b(x-1)$$

Mit der Maus kannst Du den schwarzen Punkt auf der Y-Achse verschieben, und so den Wert für \(b\) verändern. Die gestrichelte lila Kurve ist die Ortskurve auf der sich die Extrema bewegen.

Mit Hilfe dieser App solltest Du a) und b) intuitiv beantworten können ;-)

Gruß Werner

Answer 2

a) f '(-1)=0 nach b auflösen.

b) f '(-2)=0 nach b auflösen und b einsetzen sowie Vorzeichen der zweiten Ableitung bestimmen.

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also -1=3*(-1)2+b

-4=b

Ist die a so richtig?

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Nein, Aufgabe a) hast du nicht richtig gelöst.

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Ja, Aufgabe a) hast du richtig gelöst.

Das Ergebnis ist falsch und von einer richtigen Lösung kann auch nicht die Rede sein.

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f'(-1) = 0, nicht = -1

Damit ist b = -3

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Für die b) habe ich 1/3 raus. Wo muss ich die einsetzen und was meinst du mit Vorzeichen der 2. Ableitung bestimmen? die 2. Ableitung wäre ja 6x

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Okay für die b, habe ich dann 6 raus. Wie gehe ich nun weiter vor?

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b=6 ist nicht richtig. Hast du gelesen, dass auch deine Lösung zu a) nicht richtig war? (Ich hatte mich geirrt)

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Okay dann 12.Richtig?

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-12 habe vergessen auf die andere Seite zu ziehen

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ja, b=-12 ist richtig.

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Sollte die Funktion an der Stelle x = -2 ein Minimum haben, muss gelten

f''(x) > 0

f''(x) = 6x

f''(-2) = -12, also < 0

Also gibt es an der Stelle ein Maximum für b = -12.

Answer 3

Extremwerte: Gegeben sei die Funktion\( f(x)=x^{3}+b*x-b \)mit einem reellen Parameter \( b \).

a) Für welche Werte von \( b \) hat die Funktion an der Stelle \( x=-1 \) ein Extremum?

\( f´(x)=3*x^{2}+b\)

\( f´(-1)=3+b→3+b=0→b=-3\)

\( f(x)=x^{3}-3*x+3 \)

b) Gibt es einen Wert \( b \), so dass die Funktion in \( x=-2 \) ein Minimum hat?

\( f´(x)=3*x^{2}+b\)

\( f´(-2)=12+b→12+b=0→b=-12\)

\( f(x)=x^{3}-12*x+12 \)

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Mega Danke!!!!