Diese Funktionen differenzieren. Wie löst man dies?

Question

Aufgabe:

(b) \( f(x)=\sin x \cos x \)

c) \( f(x)=\sin ^{2} x \)

(d) \( f(x)=\sin \left(x^{2}\right) \)

Problem/Ansatz:

Comments

Wie lautet Teilaufgabe a)?

Answer 1

Aloha :)

b) Produktregel$$f(x)=\underbrace{\sin x}_{=u}\cdot\underbrace{\cos x}_{=v}$$$$f'(x)=\underbrace{\cos x}_{=u'}\cdot\underbrace{\cos x}_{=v}+\underbrace{\sin x}_{=u}\cdot\underbrace{(-\sin x)}_{=v'}=\cos^2x-\sin^2x$$

c) Kettenregel$$f(x)=\sin^2x$$$$f'(x)=\underbrace{2\sin x}_{\text{äußere Abl.}}\cdot\underbrace{(\sin x)'}_{\text{innere Abl.}}=2\sin x\,\cos x$$

d) Kettenregel$$\sin(x^2)=\underbrace{\cos(x^2)}_{\text{äußere Abl.}}\cdot\underbrace{(x^2)'}_{\text{innere Abl.}}=\cos(x^2)\cdot2x$$

Answer 2

a) Produktregel. Wie lautet sie?

c) Kettenregel. Wie lautet sie?

Comments

A) kommt mit Produktregel Cos x hoch 2 minus sin hoch 2

D) mit Kettenregel: 2x mal sinx hoch 2 mal cosx hoch 2 raus.

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a) f '(x)=2·cos²(x)-1

d) f '(x)=2x·cos(x²)

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a) ist völlig richtig gemacht.

f(x) = sin(x) * cos(x)
f'(x) = [sin(x)]' * cos(x) + sin(x) * [cos(x)]'
f'(x) = cos(x) * cos(x) + sin(x) * (- sin(x))
f'(x) = cos²(x) - sin²(x)

So hätte ich es zunächst stehenlassen. Natürlich kann man jetzt noch umformen wie Roland es gemacht hat. Braucht man aber nicht. Es ist schließlich nur die Aufgabe gewesen es abzuleiten. Hier nur noch der kleine Umformungskniff.

f'(x) = cos²(x) - sin²(x) + sin²(x) + cos²(x) - 1
f'(x) = 2 * cos²(x) - 1

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f(x) = sin²(x) = sin(x) * sin(x)
f'(x) = [sin(x)]' * sin(x) + sin(x) * [sin(x)]'
f'(x) = cos(x) * sin(x) + sin(x) * cos(x)
f'(x) = sin(x) * cos(x) + sin(x) * cos(x)
f'(x) = 2 * sin(x) * cos(x)

Auch so lässt man es stehen oder man nutzt einen kleinen Umformungstrick

Es gilt: sin(2 * x) = 2 * sin(x) * cos(x)

f'(x) = sin(2 * x)

---

f(x) = sin(x²)

Kettenregel

f'(x) = [x²]' * cos(x²)
f'(x) = 2 * x * cos(x²)

Answer 3

b) Produktregel

c) Kettenregel

d) Kettenregel

Answer 4

c) sin^2(x) = (sinx)^2

-> f'(x)= 2*sinx*cosx

d) f'(x) = cos(x^2)*2x

mit Weg:

https://www.ableitungsrechner.net/