f sein zweimal stetig differenzierbar mit f''(x)>0 zeigen sie die Richtigkeit folgender Ungleichungen.

Question

Aufgabe:

$$\text{ Es sei I ein offenes Intervall und }f:I\rightarrow\mathbb{R}\text{ zweimal stetig differenzierbar mit}f''(x) \geq 0\text{ für alle }x\in I.\text{  Zeigen Sie: }$$

$$a)\text{ Für alle }x,c,y\in I \text{ mit }x \lt c \lt y\text{ gilt: }$$

$$\frac{f(c)-f(x)}{c-x} \leq \frac{f(y)-f(x)}{y-x}$$

$$\text{ (Tipp: Mittelwertsatz) }$$

$$b)\text{ Für alle } \lambda \in \left[0, 1\right]\text{ und alle }x,y\in I\text{ gilt: }$$

$$f((1-\lambda)x+\lambda y)\leq (1-\lambda)f(x)+\lambda f(y).$$

$$\text{ (Tipp: Wähle }c=(1-\lambda)x+\lambda y)\text{ in a)). Bemerkung: Funktionen mit dieser Eigenschaft nennt man konvex. }$$

$$c)\text{  Es seien}A,B>0\text{ und }p,q>1\text{ mit }\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1.\text{ Beweisen Sie, dass }$$

$$AB \leq \frac{A^{p}}{p}+\frac{B^{q}}{q}\text{ indem Sie die Konvexität der Funktion exp benutzen. }$$
Problem/Ansatz:

Den teil a)  habe ich hier schon gelöst und ist hier nur als Kontext eingefügt. Mein Problem liegt hier vor allem in der Teilaufgabe b). Ich habe den Tipp beachtet doch bin dadurch zu keinem Ergebnis gekommen, was mich am meisten verwirrt ist das x,y in b) ja offensichtlich nicht x,y aus a) sind da das Verhältnis x<c<y in b)  nicht gegeben ist. ich würde mich über Hilfe hierbei sehr freuen :)

Answer 1

Zu b)

Aus (a) folgt das gilt

$$ \frac{ f \left( (1-\lambda)x + \lambda y \right) - f(x) } { (1-\lambda)x + \lambda y - x} \le \frac{ f(y) - f(x) } { y - x } $$ also

$$ f \left( (1-\lambda)x + \lambda y \right) \le \frac{ f(y) - f(x) } { y - x } (y - x) \lambda + f(x) = ( 1 - \lambda ) f(x) + \lambda f(y)  $$

Zu c)

Es gilt $$ e^{ (1-\lambda)x + \lambda y } \le ( 1 - \lambda ) e^x + \lambda e^y $$

wähle \( x = \ln(A^p) \) , \( y = \ln(B^q) \) und \( \lambda = \frac{1}{q} \)