Abbildung einer Geraden durch Drehung

Question

Aufgabe: Die Gerade g: y=-3x+2 wird durch eine Drehung mit dem Ursprung als Drehzentrum auf die Gerade h: y=3/4x+t' abgebildet.

Gesucht. a) Drehwinkel und zugehörige Drehmatrix M

          b) gib den fehlenden y-Achsenabschnitt t' an

              c) Bestimme durch Rechnung die Gleichung der Geraden k, die aus einer

                  Drehung der Geraden g mit dem Drehwinkel alpha=135 Grad hervorgeht

Problem/Ansatz:

mit dem Tangens habe ich die 2 Winkel den beiden Geraden bekommen.

Für g =-71,57 Grad und für h=36,87 Grad.

Als Drehwinkel für Aufgabe a) hätte ich 71,57 + 36,87 als Drehwinkel angegeben.

bei g habe ich bewusst das Minus weggelassen, weil der Winkel im 4. Quadranten liegt.

Als einziges Teilergebnis ist der Drehwinkel angegeben und der lautet +71,57 Grad.

Das verstehe ich schon gleich gar nicht. Bitte Hilfe

Answer 1

Hallo,

Jede Drehmatrix \(D\) in der Ebene hat die Form$$D=\begin{pmatrix} \cos \alpha & -\sin\alpha \\ \sin\alpha & \cos\alpha \end{pmatrix}$$Die beiden Richtungen der Geraden sind gegeben:$$\vec r_g = \begin{pmatrix} 1\\-3 \end{pmatrix}\quad \vec r_h=\begin{pmatrix} 4\\3 \end{pmatrix}$$Wenn \(\vec r_g\) durch Drehung in \(\vec r_h\) überführt wird, dann muss gelten:$$\lambda \vec r_h = D \vec r_g $$\(\lambda\) ist der Faktor, mit dem die Länge von \(\vec r_h\) multipliziert wird, um auf die Länge von \(\vec r_g\) zu kommen. Einsetzen gibt:$$\cos \alpha = -\frac12 \lambda, \quad \sin\alpha = \frac32 \lambda$$Da \(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha=1\) folgt \(\lambda = \sqrt{2/5}\). Beachte hier, dass die Werte für Cosinus UND Sinus gegeben sind. Da der Tangens bzw. Arkustangesn$$\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = -3 $$nicht eindeutig ist, kann über das Vorzeichen von Sinus und Cosinus die korrekte Lösung in \([0\dots 2\pi)\) gefunden werden. Hier$$\alpha \approx 108,43°$$Das ist der Nebenwinkel zu \(71,57°\)!

Es gibt übrigens zwei Lösungen. Die zweite Lösung ist \({\color{red}-}71,57°\).

Als einziges Teilergebnis ist der Drehwinkel angegeben und der lautet +71,57 Grad.

das ist falsch; das sieht man schon an der Graphik! Überlege selbst mal wieso und was man ändern muss, um zu der zweiten Lösung zu kommen

https://www.desmos.com/calculator/qa47co1rgy

Die rote Gerade ist \(g\) und die blaue \(h\). Da beide den selben Abstand vom Ursprung haben müssen, lässt sich \(h\) über die Hessesche Normalform auch ohne Drehmatrix berechnen.$$t' = \pm \frac14 \sqrt 10$$Für c) nutze die Normalform. Falls Du Fragen hast, so melde Dich bitte.

Das verstehe ich schon gleich gar nicht.

Es ist hier zufällig so, dass der Winkel von \(g\) zur Horizontalen identisch mit dem WInkel von \(h\) zu \(g\) ist (2. Lösung).

Gruß Werner

Comments

hallo Werner,

Du hast mir schon sehr geholfen, Danke !

Den Satz, dass beide Geraden vom Ursprung denselben Abstand haben müssen, habe ich nicht verstanden. Das wurde bei uns im Unterricht auch nie erwähnt. Vielleicht hatte der Lehrer vor, bei Aufgaben immer automatisch dafür zu sorgen und dass wir nicht drauf achten müssen.

Ich habe jetzt x' mal mit der Drehmatrix zu berechnen versucht:

Lambda * x' =cos 71,56 *1 +3*sin 71,56 = 3,16227...

               für x'=4 --- Lambda= 3,16.../4 =0,79056

Habe ich da was falsch, denn wenn ich das mit y' auch rechne müsste ja das selbe Lambda rauskommen , oder ???

Da kommt Lambda =-0,9282... raus.

Und Wozu brauche ich dieses Lamda jetzt ?

Die Hessesche Normalform haben wir nicht gehabt.

Kannst Du bitte nochmal auf meine Lambda-Berechnung schauen. Die muss ja falsch sein.

Viele Dank nochmal

Viele Grüße

Uli

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Hallo Uli,

Den Satz, dass beide Geraden vom Ursprung denselben Abstand haben müssen, habe ich nicht verstanden. Das wurde bei uns im Unterricht auch nie erwähnt.

Vielleicht ist das Eurem Lehrer gar nicht bewusst, Ihr macht zu wenig Skizzen ;-)

Die rote Gerade ist \(g\). Betrachte den Punkt \(P\), der auf der Geraden derjenige Punkt ist, der dem Ursprung \(O\) am nächsten liegt, Die Strecke \(|OP|\) steht senkrecht auf \(g\).
Wenn man nun die Gerade \(g\) mitsamt dem Punkt \(P\) um \(108,4..°\) um \(O\) dreht, wandert \(P\) nach \(P'\). Und die Länge der Strecke \(|OP'|\) ist natürlich identisch zu \(|OP|\). \(P\) und \(P'\) liegen doch beide auf dem selbem Kreis.
Das meine ich mit: \(g\) und \(h\) habe den selben Abstand zum Ursprung \(O\).

Lambda * x' =cos 71,56 *1 +3*sin 71,56 = 3,16227...
            für x'=4 --- Lambda= 3,16.../4 =0,79056
Habe ich da was falsch,

Ja - Du hast mit \(+71,57°\) gerechnet. Korrekt wäre \(\alpha = {\color{red}-}71,57°\). Dann erhältst Du$$\lambda \approx 0,6325 \space \left(\sqrt{\frac 25}\right)$$

Und Wozu brauche ich dieses Lamda jetzt ?

Du sollst doch die Drehmatrix \(D\) aufstellen (Aufgabenteil a)). Setze dazu einfach die berechneten Größen in \(D\) ein (Achtung: jetzt für \(\alpha \approx 108,43°\) (s.o))$$D= \begin{pmatrix} \cos \alpha & -\sin\alpha \\ \sin\alpha & \cos\alpha \end{pmatrix}\\\phantom{D}= \begin{pmatrix} -\frac12 \lambda & -\frac 32 \lambda \\ \frac 32 \lambda& -\frac12 \lambda \end{pmatrix}\\\phantom{D}=\frac 12\lambda \begin{pmatrix} -1 & -3 \\ 3& -1 \end{pmatrix}\quad\quad \lambda =\sqrt{\frac25}\\\phantom{D}=\frac1{\sqrt{10}}\begin{pmatrix} -1 & -3 \\ 3& -1 \end{pmatrix}$$Wenn Du natürlich den Winkel \(\alpha \approx 108,43°\) vorher schon anders berechnet hast, so ist die Drehmatrix damit auch gegeben! Zum Beispiel$$\cos\left(108,43°\right) \approx -0,3162 \approx \left(-\frac1{\sqrt{10}}= \cos\alpha\right)$$

Die Hessesche Normalform haben wir nicht gehabt.

... und dann werdet Ihr jetzt mit Drehmatrizen behelligt! Ist das Schule oder Studium? Vektorrechnung - also zum Beispiel die vektorielle Darstellung einer Geraden - habt Ihr aber gehabt - oder?

Answer 2

Es kommt daraus an, ob man den Drehwinkel orientiert betrachtet oder nicht.

Es ist richtig, dass eine Drehung im positiven Drehsinn um (71,57 + 36,87)°=108,44° die Geraden ineinander überführt.

Das entspricht aber auch einer Drehung im negativen Drehsinn um 180°-108,44°=71,56°.

Damit sind wir beim vorgegebenen Ergebnios (Abweichung der letzten Kommastelle durch Verwendung gerundeter Näherungswerte).