Werte bestimmen, für die Abbildung eine Drehung ist

Question

Die Aufgabe lautet: Bestimmen sie alle α,β, für welche die Abbildung φ=Ax mit $$A = \begin{pmatrix} \alpha & \frac{-2}{\sqrt{6}} & 0 \\ \frac{1}{\sqrt{3}} & \beta & \frac{-1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{3}} & \beta & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}$$ eine Drehung ist.

Wie geht man bei der Lösung für so eine Aufgabe vor?

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Answer 1

A = (α , (-2/√6), 0)

     ((1/√3), β, (-1/√2))

     ((1/√3), β, (1/√2))

 eine Drehung ist.

siehe:  https://de.wikipedia.org/wiki/Drehmatrix#Allgemeine_Definition

Die Determinante ist

det(A) = ab√2 + 2/3  und die muss 1 sein, also

a = 1 / (3b√2 )  .  #

Außerdem muss  A^T = A^{-1} sein, also insbesondere das obere linke

Element von A gleich dem von A^{-1} , also

a = 3b / (3ab + √2 )  Einsetzen von # gibt

1 / (3b√2 )    = b√2

also b^2 = 1/6  bzw.   b = ±√(1/6) und damit a = ±1 / √3

Damit kann A nur eine Drehmatrix sein für

  b = √(1/6) und a = 1 / √3

oder

  b = -√(1/6) und a = -1 / √3 .

Und in beiden Fällen klappt es auch.

Answer 2

Drehungen sind winkel- und längentreu ausserdem erhalten sie den Orientierungssinn der Figur.

Deine Drehung mit Matrix hat den Koordinatenursprung als Fixpunkt.

In den Spaltenvektoren stehen die Bilder von (1,0,0), (0,1,0) und (0,0,1).

Längentreu heisst insbesondere: Die Spaltenvektoren haben die Länge 1.

Dann bleibt noch das Vorzeichen von alpah und beta. Die Determinante der Matrix muss z.B. + 1 sein. (Orientierung) . Allenfalls noch das Vektorprodukt in die Überlegung einbauen.