Bedingung für das Cauchysche Integralkriterium

Question

Kann mir wer dieses Beispiel erklären? Bin am lernen für die Prüfung und grad irgendwie komplett verloren... fühl mich als hätte ich ein totales blackout :(

Welche Bedingung im Cauchyschen Integralkriterium ist für die Reihe

\(\sum \limits_{n=0}^{\infty} \frac{n^{2}-1}{e^{n}}\)

nicht erfüllt? Wie kann man dennoch die Konvergenz dieser Reihe mit Hilfe des Cauchyschen Integralkriteriums zeigen?

Answer 1

Wenn man f(x) = (x^2-1)/e^x nehmen würde, ist die

Monotoniebedingung auf [0 ; ∞[ nicht erfüllt.

Da es aber bei der Konvergenz einer Reihe auf die ersten Reihenglieder

nicht ankommt (Die kann man als konstanten Summanden hinterher

dranhängen.) reicht es z.B. die Reihe

 \(\sum \limits_{n=3}^{\infty} \frac{n^{2}-1}{e^{n}} =\sum \limits_{n=0}^{\infty} \frac{(n+3)^{2}-1}{e^{n+3}} \)

zu betrachten. Da ist die entsprechende Funktion monoton fallend.