Aloha :)
Im ersten Fall lautet das Integrationsintervall \(0<x<1\). Daher gilt:$$x^3>0\implies -x^3<0\implies 1-x^3<1\implies\sqrt{1-x^3}<1\implies\frac{1}{\sqrt{1-x^3}}>1$$Das bedeutet für das Integral:$$\int\limits_0^1\frac{1}{x\sqrt{1-x^3}}\,dx=\int\limits_0^1\frac{1}{x}\,\frac{1}{\sqrt{1-x^3}}\,dx>\int\limits_0^1\frac 1x\,dx=\left[\ln x\right]_0^1=\ln(1)-\lim\limits_{x\to0}\left(\ln x\right)\to\infty$$Das Integral konvergiert also nicht.
Im zweiten Fall gilt, weil \((-2x)\) die innere Ableitung von \(e^{-x^2}\) ist:$$\int\limits_{-\infty}^\infty xe^{-x^2}\,dx=-\frac12\int\limits_{-\infty}^\infty (-2x)e^{-x^2}\,dx=-\frac12\left[e^{-x^2}\right]_{-\infty}^\infty=-\frac12\left(0-0\right)=0$$Das zweite Integral konvergiert und liefert den Wert \(0\).
Die Konvergenz des zweiten Integrals kann man auch mit der Punktsymmetrie des Integranden begründen, dann kannst du dir (je nach Leerkraft) vielleicht sogar die Rechnung sparen.
