Zu spät gekommen
Vielleicht ist es an der Zeit, die Kommentare zu einem Lösungsversuch zusammenzufassen:
Es gilt für beliebige x,y,z: \(\langle x+y,z\rangle=\langle x,z\rangle + \langle y,z\rangle\). Daher mit z=x-y:
$$\langle x+y,x-y \rangle=\langle x,x-y\rangle +\langle y,x-y \rangle$$
Dann bearbeiten wir jeweilsden "zweiten Faktor":
$$\langle x,x-y\rangle +\langle y,x-y \rangle=\langle x,x \rangle -\langle x,y \rangle + \langle y,x \rangle -\langle y,y\rangle$$
Wegen der Symmetrie des Skalarprodukts heben sich die mittleren Terme weg und mit der Definition der Norm:
$$\langle x+y,x-y \rangle=\|x\|^2-\|y\|^2$$
Gruß Mathhilf
