Auf welchem Parallelkreis hat ein (Längen-) Grad die Länge von 10 km?

Question

Aufgabe: Auf welchem Parallelkreis hat ein (Längen-) Grad die Länge von 10 km?

Problem/Ansatz:

Ich habe die Aufgabe mit folgender Gleichung gelöst:
(2 π mal 6370 (= Erdradius) mal cos x) / 360 = 10 und damit die richtige Lösung x = 84,89° gefunden.
Das Lösungsheft des Lehrbuchs jedoch hat die einfachere Lösung
cos φ = 10 (Kilometer 1 Grad Länge auf Breitengrad x) / 111,3 (km 1 Grad Länge auf dem Äquator), φ = 84°51' (was ja ungefähr meiner Lösung entspricht).
Nur verstehe ich diesen Lösungsweg des Lehrbuchs nicht und bitte Euch, ihn mir zu erklären.

Answer 1

Hallo,

Ich habe die Aufgabe mit folgender Gleichung gelöst:
(2 π mal 6370 (= Erdradius) mal cos x) / 360 = 10

was in Formeln bedeutet:$$\frac{{\color{blue}2\pi \cdot 6370} \cdot \cos x}{\color{blue}360} = 10 $$Nun dividiere diese Gleichung durch den blauen Anteil$$\cos x = \frac{10}{\color{blue}\frac{2\pi \cdot 6370}{360}}$$und der blaue Term sind genau die 111,..km$${\color{blue}\frac{2\pi \cdot 6370}{360}} = 111,177\dots$$Zum Verständnis: jeder Breitenkreis (dort werden die Längengrade gemessen) ist proportional zum Cosinus der Breite. Damit ist auch jeder Anteil des Kreises proportional zu diesem Cosinus.

D.h. die Länge \(l\) eines Grades auf einem Breitenkreis der Breite \(x\) verhält sich zu der Länge eines Grades auf dem Äquator wie \(\cos(x) \div 1\).

Gruß Werner

PS.: der Unterschied in den Zahlen ergibt sich wohl aus dem verwendeten Erdradius am Äquator von 6378km.

Answer 2

Aloha :)

Der Äquator hat den Radius \(R\approx6370\,\mathrm{km}\) und den Breitengrad \(0^\circ\).

Ein Längegrad misst auf ihm:$$L(0^\circ)=\frac{U}{360}=\frac{2\pi R}{360}\approx111,18\,\mathrm{km}$$Der Kreis auf dem Breitengrad \(\varphi\) hat den Radius \(r(\varphi)=R\cdot\cos\varphi\).

Daher misst ein Längengrad auf dem Breitengrad \(\varphi\)$$L(\varphi)=\frac{2\pi R\cdot\cos\varphi}{360}=111,18\,\mathrm{km}\cdot\cos\varphi$$Der Breitengrad auf dem ein Längengrad \(10\,\mathrm{km}\) misst, ist daher:$$\cos\varphi=\frac{10\,\mathrm{km}}{111,18\,\mathrm{km}}\approx0,0899\quad\implies\quad\varphi\approx84,4^\circ$$

Comments

All das leuchtet mir völlig ein! Doch darf man folgendermaßen weiterschließen: Wenn cos φ = 10 / 111,18 ist, ein Kosinus immer das Verhältnis von Ankathete zu Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks ist, wie wäre ein solches Dreieck in diesem Fall zeichnerisch darzustellen? Ist das überhaupt in der zweidimensionalen Zeichenebene möglich, wenn es hier um Längenverhältnisse auf einer Kugel geht?