Zeige, dass n∈R^n orthogonal zu G ist genau dann wenn =0 gilt

Question

Aufgabe:

Seien u,v ∈ R^n, v≠0 und

G:= u+Rv={u+λv:λ∈R} ⊂ R^n

Zeige, dass n∈R^n orthogonal zu G ist genau dann wenn < v,n> =0 gilt

Problem/Ansatz:

orthogonal ist wenn sich zwei Geraden so schneiden, dass es ein rechter Winkel gergibt.

Mein Problem ist jedoch wie ich das mit den hieroglyphen zeigen soll.

Answer 1

Du hast hier die Aufgabe über Orthogonalität zwischen

einem Vektor \(\vec{n}\) ∈ R^n und dem affinen Raum G nachzudenken.

Das muss ja irgendwo definiert sein. Vermutlich so:

\(\vec{n}\) orthogonal zu G <=> Für alle P,Q ∈ G gilt \(\vec{n}\) orthogonal zu \(\vec{PQ}\).

Dann musst du nur noch bedenken, dass mit den Ortsvektoren

von P und Q gilt \(\vec{PQ}  =  \vec{q} - \vec{p} \).

Und dann geht es wohl so.

1. Richtung "==>"   Sei \(\vec{n}\) orthogonal zu G \)  und P,Q∈ G

==>   Es gibt λ und μ ∈ℝ mit \( \vec{q} = u +λ v \)   und  \( \vec{p} = u +μ  v \).

==>    \(\vec{PQ}  =  \vec{q} - \vec{p} = ( u +λ v) - (u +μ v ) = (λ - μ) v

Und aus <(λ - μ) v , n > = 0 für alle λ und μ ∈ℝ folgt <v,n> = 0 .

2. Richtung entsprechend.