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Hallo zusammen!


Ich stehe gerade vor dem Problem, dass ich die Lage des Schwerpunktes eines Dreiviertelkreis ermitteln muss.

Könnte mir da mal jemand einen Tipp geben, wie ich das angehen kann?


Gruß

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Wähle den Radius als Längeneinheit und bestimme x so, dass die hellgraue und die dunkelgraue Fläche gleichgroß sind:

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Hallo,

Berechne den Schwerpunkt eines Viertelkreises und ziehe diesen gewichtet vom Schwerpunkt des Kreises (dem Mittelpunkt) ab. Im Detail geht das so:

Ein Viertelkreis mit Radius \(r\) ist modelliert durch die Funktion$$k(x) = \sqrt{r^2-x^2} \quad x \in [0\dots r]$$die übliche Schwerpunktberechnung ...$$\begin{aligned} x_s &= \frac1{F_{vk}}\int\limits_{x=0}^{r} xk(x)\,\text dx \\ &=  \frac4{r^2 \pi}\int\limits_{x=0}^{r} x\sqrt{r^2-x^2} \,\text dx \\ &= \frac4{r^2 \pi} \left[-\frac13\left(r^2-x^2\right)^{\frac32}\right]_{x=0}^r \\ &= \frac4{r^2 \pi} \cdot \frac13 r^3 \\ x_s&= \frac4{3\pi} r \\ \end{aligned}$$Wegen der Symmetrie des Viertelkreises ist der Y-Wert identisch zum X-Wert. Also ist seine Entfernung \(r_s\) vom Mittelpunkt (auf der Symmetrieachse)$$r_s = \sqrt 2 \cdot x_s = \frac{4\sqrt 2}{3\pi} r$$Da sich die Fläche des Dreiviertelkreises zum Viertelkreises wie \(3:1\) verhält, liegt der Schwerpunkt des Dreiviertelkreises bei $$s = \frac13 r_s = \frac{4\sqrt 2}{9\pi} r \approx 0,20007\, r$$

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Der Schwerpunkt (grün) liegt also ca. bei \(0,2\,r\) vom Mittelpunkt entfernt auf der Symmetrieachse.

Gruß Werner

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