Zeigen oder widerlegen Sie Ungleichungen

Question

Aufgabe:

Seien a,b,c∈Q . Zeigen oder widerlegen Sie:

|a+b|≤|a|+|b|

0<b≤a⇒a+1b+1≤ab

0<a , 0<b⇒ab+b a≥2

Problem/Ansatz:

Hi, den ersten Teil davon habe ich hinbekommen, aber bei den anderen beiden weiß ich nicht ganz, wie ich das beweisen soll.

Könnt ihr mir da vielleicht weiterhelfen?

Comments

Ich habe meine Zweifel, ob die beiden Ungleichungen richtig aufgeschrieben sind.

Warum schreibst du

a+1b+1,

obwohl a+b+1 das Gleiche ergeben hätte?

Warum schreibst du
ab+b a

obwohl 2ab das Gleiche ergeben hätte?

---

Hi, ich kann das hier so schlecht als Bruch schreiben also eigentlich ist a+1 der Zähler und b+1 der Nenner und es muss auch a÷b sein

---

Letzteres ist vermutlich so gemeint:
Für alle \(a,b\in\mathbb Q\) mit \(a,b>0\) gilt \((a-b)^2\ge0\\\iff a^2-2ab+b^2\ge0\\\iff a^2+b^2\ge2ab\\\iff\dfrac{a^2+b^2}{ab}\ge2\\\iff\dfrac ab+\dfrac ba\ge2\).

---

Hi, dankee jetzt habe ich es verstanden :)

Answer 1

Also die zweite so ?

\(  \frac{a+1}{b+1}  \le   \frac{a}{b} \)

Da b und b+1 positiv sind, kann du mit dem Hauptnenner

multiplizieren und hast

<=>  (a+1) * b  ≤ (b+1) * a

<=> ab + b  ≤ a b+a    | -ab

<=>    b ≤ a  und das war ja vorausgesetzt !

Comments

Ja genau fast also im Nenner muss b+1 stehen

---

Obwohl, du hast glaube ich auch mit b+1 gerechnet, dann habe ich es verstanden, dankee :)