Nachweis das F(x) Stammfunktion von f(x) ist

Question

Weisen Sie nach, das   F(x)= (-2x-4)*e^-0,5x   eine Stammfunktion von f ist.

f(x)= x*e^-0,5x

Answer 1

Hi,

entweder Du integrierst f(x) oder Du leitest F(x) ab. Jeweils muss das gleiche rauskommen. Ableiten dürfte einfacher sein, gehe also diesen Weg:

F(x) = (-2x-4)e^{-0,5x}

F'(x) = -2*e^{-0,5x} + (-2x-4)*(-0,5)e^{-0,5x} = -2e^{-0,5x} + (x+2)e^{-0,5x} = xe^{-0,5x} = f(x)

Das heißt F(x) ist eine Stammfunktion von f(x) :).

Grüße

Answer 2

 

um diesen Nachweis zu erbringen, müssen wir überprüfen, ob F'(x) = f(x) gilt:

 

F(x) = (-2x - 4) * e^-0,5x

Produktregel:

F'(x) = (-2x - 4)' * e^-0,5x + (-2x - 4) * (e^-0,5x)'

F'(x) = -2 * e^-0,5x + (-2x - 4) * (-0,5) {innere Ableitung von e^-0,5x} * e^-0,5x {äußere Ableitung davon}

F'(x) = -2 * e^-0,5x + (x + 2) * e^-0,5x

F'(x) = (-2 + x + 2) * e^-0,5x

F'(x) = x * e^-0,5x = f(x)

 

Yep :-D

 

Besten Gruß