Aufgabe:
12. In den siebziger Jahren wurde die Tabelle (Fig. 1) zur PKW-Dichte (d. h. die Anzahl der PKW je 1000 Einwohner) in Deutschland veröffentlicht.
a) Stellen Sie mithilfe des Graphen eine Vermutung zur Sättigungsgrenze auf und führen Sie
anschließend, logistisches Wachstum vorausgesetzt, eine Funktionsanpassung durch.
b) Welchen Wert erhalten Sie für die PKW-Dichte im Jahr 1990? Vergleichen sie mit dem tatsächlichen Wert 490.
c) Verändern Sie gegebenenfalls Ihre Funktionsanpassung und prognostizieren Sie die PKW Dichte für das Jahr 2010.
d.) Mit welchem momentanen Zuwachs an Pkw/1000 Einwohner wäre nach ihrer Modellierung im Jahr 1970 zu rechnen gewesen.
Text erkannt:
\begin{tabular}{c|c}
Jahr & PKW-Dichte \\
\hline 1950 & 24 \\
1955 & 48 \\
1960 & 84 \\
1965 & 154,8 \\
1970 & 222,6
\end{tabular}
1970 wurde eine Sättigungsgrenze \( S=300 \) prognostiziert.
Problem/Ansatz:
Moin allerseits,
Ich hänge gerade an einer Aufgabe und bräuchte etwas Hilfestellung.
a) Als Grenze habe 300 vermutet und mit diesem gerechnet. Als allgemeine Formel für logistisches Wachstum benutze ich f(x)=S/1+a*e^-k*x
Also S=300, t=1950=0, f(0)=24, a=S/f(0)-1=300/24-1=11,5 -> a=11,5
t=1970-1950=20 -> f(20)= 222,6
Dann k berechnet:
222,6=300/1+11,5*e^-k*20
k ~ 0,1749
Als „Lösung“ für a) habe ich dann folgendes: f(x)=300/1+11,5*e^-0,1749*x
Ich bin nun unsicher ob die Lösung so stimmt und hoffe das mir jemand die bestätigen kann bzw. korrigieren kann. (Bei der Aufgabe war übrigens keine Graph aufgezeichnet worden sondern man musste ihn aus der Tabelle aufmalen).
Mit besten Grüßen
