Aufgabe:1 In Deutschland hat die Nutzerzahl sozialer Netzwerke in den letzten zwei Jahren stark zu genommen. Die genaue Entwicklung des Gesamtmarktes hat das Marktforschungsinstitut INTERMEDIUM untersucht und ist zu den in der Tabelle stehenden Ergebnissen gekom- men. Dabei ist t die Zeit in Zeiteinheiten (ZE), wobei t = 0 den Beginn des ersten Quartals 2015 darstellt. a) Das Marktforschungsinstitut INTERMEDIUM bereitet für einen Auftraggeber das vorlie- gende Datenmaterial auf. Bestimmen Sie im Rahmen dieses Auftrags die Funktions- gleichung zur Funktion f mit Hilfe der Regression unter der Annahme, dass es sich um ein logistisches Wachstum handelt, und runden Sie die Werte auf eine Nachkommastelle. Dabei ist f(t) die Anzahl der Nutzer sozialer Netzwerke in Deutschland in ME zum Zeit- punkt t. Geben Sie den mathematischen Definitionsbereich für diese Wachstumsfunktion an. Der Auftraggeber prognostiziert für den Beginn des 3. Quartals 2017 eine Nutzerzahl von 32 ME. Untersuchen Sie, inwieweit sich die Prognose des Auftraggebers mit der ermittel- ten Funktion f bestätigen lässt. Zudem möchte der Auftraggeber wissen, in welchem Monat er erstmalig mit einer Nutz- erzahl von mindestens 27 ME rechnen kann. Berechnen Sie, in welchem Monat dieser Sachverhalt eintritt. Der Auftraggeber behauptet, dass auf der Grundlage des vorliegenden Datenmaterials ein exponentielles Wachstum vorliegt. Beurteilen Sie diese Behauptung im Sachzusammenhang. b) Aus Erfahrung weiß das Marktforschungsinstitut, dass die Altersstruktur einen großen Einfluss auf die Nutzerzahl hat. Daher rechnet das Institut im Folgenden für den Gesamt- markt mit dem verfeinerten Modell fk mit fk(t) = 180 : 6+ 27e^-kt · Dabei ist k e IR\ {0} ein Parame- ter, der die Altersstruktur berücksichtigt. Um Realitätsnähe zu gewährleisten, soll berücksichtigt werden, dass die Graphen der Wachstumsfunktionen monoton steigend sind. Ermitteln Sie die Werte, die der Parameter k demnach annehmen kann.
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\begin{tabular}{|l|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline Beginn & 1.0uartal 2015 & 2.0uartal 2015 & 3.0uartal & 4.0uartal & 1.0uartal & 2.0uartal & 3.0uartal & 4.0uartal \\
\hline Zeit in ZE & \( t=0 \) & \( t=1 \) & \( t=2 \) & \( t=3 \) & \( t=4 \) & \( t=5 \) & \( t=6 \) & \( t=7 \) \\
\hline Nutzerzahl in ME & 6,8 & 9,5 & 11,0 & \( 12.1 \) & 15,0 & 19,0 & 20,5 & 22,5 \\
\hline
\end{tabular}
Problem/Ansatz:
wie kommt man zur lösung ?
