Fläche, die vom Graphen der Funktion und den beiden Koordinatenachsen eingeschlossen wird

Question

Aufgabe:

$$f(x)=a-x^2 \quad a \in \mathbb R^+ \\ A = \frac{16}3$$Ermittle \(a\) so, dass der Inhalt der vom Graphen der Funktion \(f\) und den beiden Koordinatenachsen eingeschlossenen Fläche den Wert \(A\) hat.

Problem/Ansatz:

https://www.desmos.com/calculator/itf08jatfz

Comments

f ist eine nach unten geöffnete Parabel

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a muss 4 sein

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Probe
f ( x ) = 2 - x^2
Nullstellen
x^2 = 2
x = ±√ 2
S = 2*x - x^3 / 3
S zwischen 0 und √ 2

2 *  √ 2 - ( √ 2 ) ^3 / 3
1.98 ist ungleich 8/3

a = 2.52 dürfte stimmen.

Sonst mach einmal die Probe mit a = 4

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Interpretiere das beiden richtig und erhalte das angegebene Reaultat.

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Müsste dann da nicht stehen im ersten Quadranten?

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Deshalb sprach ich von Interpretation und "richtig" heißt "im Sinne des Autors".

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Das Foto in der Frage mit dem unleserlich vollgekraxelten Notizblatt auf dem grauen Teppich / Sofa habe ich entfernt.

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"Irmijte a cler Furcion f und den beiden Koordinalerachien eígenclicosenen flale den wer A hat!"

Wo ist der Übersetzungsduden?

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Das Foto in der Frage mit dem unleserlich vollgekraxelten Notizblatt auf dem grauen Teppich / Sofa habe ich entfernt.

Schaffe es wieder herbei!

Answer 1

Die Funktion soll von 0 bis zur Nullstelle integriert werden.

Die Nullstelle von f(x) = a - x² = 0 ist bei x = \( \sqrt{a} \)

Löse die Gleichung \( \int\limits_{0}^{\sqrt{a}} (a - x^2) \, dx = \frac{16}{3}\) nach a auf.

Answer 2

Vom Duplikat:

Titel: Was ist a ? Ermittle a !

Stichworte: integralrechnung

Aufgabe:

Ermittle a £R+ so, dass der Inhalt der vom Graphen der Funktion f und den beiden Koordinatenachsen eingeschlossenen Fläche den Wert A hat.

f(x) =2-ax^2

A=8/3

Comments

Waren es nicht ursprünglich 16/3?

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Schaffe es wieder herbei!

ich habe mal geraten, wie die Originalaufgabe gemeint war (s.o.). Ich hoffe das stimmt ;-)

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Et voila:

Ich halte so etwas ja für unzumutbar, man hat es der Fragestellerin auch schon ein paarmal gesagt, und beim Registrieren wird es auch angezeigt, dass man Aufgaben abtippen soll.

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@döschwo: es hätte auch gereicht, wenn Du nur bestätigst, dass der Inhalt des Fotos nun sinngemäß mit meiner Änderung überein stimmt (s. Frage oben).

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Ich kann den Kram nicht lesen. Und das was die Schrifterkennung daraus gemacht hat, natürlich auch nicht.

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Ich kann den Kram nicht lesen. Und das was die Schrifterkennung daraus gemacht hat, natürlich auch nicht.

dann war das vielleicht nicht so schlau, das Foto zu entfernen ;-)

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Ermittle \(a\) so, dass der Inhalt der vom Graphen der Funktion \(f\) und den beiden Koordinatenachsen eingeschlossenen Fläche den Wert \(A\) hat.

a = 4 stimmt
Ich hatte beide Nullstellen links und rehts
der y-Achse verstanden.

Answer 3

Nullstelle von f(x)ist x= \( \frac{2}{\sqrt{a}} \)

\( \int\limits_{0}^{2/\sqrt{a}} \) (2-ax²) dx=\( \frac{4}{3\sqrt{a}} \)

\(\frac{8}{3}= \frac{4}{3\sqrt{a}} \)

Dann ist a=\( \frac{1}{4} \).

Comments

Nullstelle von f(x) ist x= \( \frac{2}{\sqrt{a}} \)

$$x_0 = \sqrt{\frac 2a} \implies a = \frac12$$

https://www.desmos.com/calculator/j1smmwesir

verschiebe den Punkt links vertikal mit der Maus bis sich die gewünschte Flächengröße \(A\) einstellt.

Answer 4

Hallo,

ermittle zunächst die Nullstellen der Funktion.

[spoiler]

\( \begin{aligned} a-a x^{2} &=0 \\-a x^{2} &=-2 \\ x^{2} &=\frac{2}{a} \\ x &=\pm \sqrt{\frac{2}{a}} \end{aligned} \)

[/spoiler]

Bestimme die Stammfunktion und berechne das Integral zwischen den beiden Nullstellen in Abhängigkeit von a.

[spoiler]

\(F_a(x)=2 x-\frac{1}{3} a x^{3} \)

\( \begin{aligned} F\left(-\sqrt{\frac{2}{a}}\right) &=2 \cdot\left(-\sqrt{\frac{2}{a}}\right)-\frac{1}{3} a\left(-\sqrt{\frac{2}{a}}\right)^{3} \\ &=-2 \sqrt{\frac{2}{a}}+\frac{1}{3} \cdot a \cdot \frac{2}{a} \cdot \sqrt{\frac{2}{a}} \\ &=-2 \sqrt{\frac{2}{a}}+\frac{2}{3} \cdot \sqrt{\frac{2}{a}} \\ &=-\frac{4}{3} \sqrt{\frac{2}{a}} \end{aligned} \)

\( \begin{aligned} F\left(\sqrt{\frac{2}{a}}\right) &=2 \cdot \sqrt{\frac{2}{a}}-\frac{1}{3 }a\left(\sqrt{\frac{2}{a}}\right)^{3} \\ &=2 \sqrt{\frac{2}{a}}-\frac{1}{3 }a \cdot \frac{2}{a} \cdot \sqrt{\frac{2}{a}} \\ &=2 \sqrt{\frac{2}{a}}-\frac{2}{3} \sqrt{\frac{2}{a}} \\ &=\frac{4}{3} \sqrt{\frac{2}{a}} \end{aligned} \)

\( -\frac{4}{3} \sqrt{\frac{2}{a}}-\frac{4}{3} \sqrt{\frac{2}{a}}=-\frac{8}{3} \sqrt{\frac{2}{a}}\)

[/spoiler]

Setze dein Ergebnis = 8/3 und löse nach a auf.

[spoiler]

\( \begin{aligned}-\frac{8}{3} \sqrt{\frac{2}{a}} &=\frac{8}{3} \\ \sqrt{\frac{2}{a}} &=-1 \\ \frac{2}{a} &=1 \\ a &=2 \end{aligned} \)

[/spoiler]

Gruß, Silvia

Comments

... und den beiden Koordinatenachsen eingeschlossenen Fläche den Wert A hat.

zugegebener Maßen ist die Aufgabenstellung hier nicht ganz eindeutig.

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Stimmt, wenn du es so sagst, reicht wohl die Hälfte der Fläche.

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Außerdem hat die Gleichung \(\sqrt{\frac2a}=-1\) wohl keine Lösung.

Answer 5

\(f(x)=a-x^2 \quad a \in \mathbb R^+ \\ A = \frac{16}3\)

Nullstelle:

\(x=\sqrt{a} \)

\( \frac{16}{3}=\int \limits_{0}^{\sqrt{a}}\left(a-x^{2}\right) \cdot d x=\left[a \cdot x-\frac{1}{3} x^{3}\right]_{0}^{\sqrt{a}}=\left[a \cdot \sqrt{a}-\frac{1}{3} \cdot a^{\frac{3}{2}}\right]-0=\left[a^{\frac{3}{2}}-\frac{1}{3} \cdot a^{\frac{3}{2}}\right]=\frac{2}{3} \cdot a^{\frac{3}{2}} \)
\( \frac{16}{3}=\frac{2}{3} \cdot a^{\frac{3}{2}} \)
\( a^{\frac{3}{2}}=\left.8\right|^{\frac{2}{3}} \)
\( a=4 \)
\( f(x)=4-x^{2} \)