Aufgabe:
f(x)=a−x2a∈R+A=163f(x)=a-x^2 \quad a \in \mathbb R^+ \\ A = \frac{16}3f(x)=a−x2a∈R+A=316Ermittle aaa so, dass der Inhalt der vom Graphen der Funktion fff und den beiden Koordinatenachsen eingeschlossenen Fläche den Wert AAA hat.
Problem/Ansatz:
f ist eine nach unten geöffnete Parabel
a muss 4 sein
Probef ( x ) = 2 - x2Nullstellenx2 = 2x = ±√ 2S = 2*x - x3 / 3S zwischen 0 und √ 2
2 * √ 2 - ( √ 2 ) 3 / 31.98 ist ungleich 8/3
a = 2.52 dürfte stimmen.
Sonst mach einmal die Probe mit a = 4
Interpretiere das beiden richtig und erhalte das angegebene Reaultat.
Müsste dann da nicht stehen im ersten Quadranten?
Deshalb sprach ich von Interpretation und "richtig" heißt "im Sinne des Autors".
Das Foto in der Frage mit dem unleserlich vollgekraxelten Notizblatt auf dem grauen Teppich / Sofa habe ich entfernt.
"Irmijte a cler Furcion f und den beiden Koordinalerachien eígenclicosenen flale den wer A hat!"
Wo ist der Übersetzungsduden?
Schaffe es wieder herbei!
Die Funktion soll von 0 bis zur Nullstelle integriert werden.
Die Nullstelle von f(x) = a - x2 = 0 ist bei x = a \sqrt{a} a
Löse die Gleichung ∫0a(a−x2) dx=163 \int\limits_{0}^{\sqrt{a}} (a - x^2) \, dx = \frac{16}{3}0∫a(a−x2)dx=316 nach a auf.
Vom Duplikat:
Titel: Was ist a ? Ermittle a !
Stichworte: integralrechnung
Ermittle a £R+ so, dass der Inhalt der vom Graphen der Funktion f und den beiden Koordinatenachsen eingeschlossenen Fläche den Wert A hat.
f(x) =2-ax2
A=8/3
Waren es nicht ursprünglich 16/3?
ich habe mal geraten, wie die Originalaufgabe gemeint war (s.o.). Ich hoffe das stimmt ;-)
Et voila:
Ich halte so etwas ja für unzumutbar, man hat es der Fragestellerin auch schon ein paarmal gesagt, und beim Registrieren wird es auch angezeigt, dass man Aufgaben abtippen soll.
@döschwo: es hätte auch gereicht, wenn Du nur bestätigst, dass der Inhalt des Fotos nun sinngemäß mit meiner Änderung überein stimmt (s. Frage oben).
Ich kann den Kram nicht lesen. Und das was die Schrifterkennung daraus gemacht hat, natürlich auch nicht.
dann war das vielleicht nicht so schlau, das Foto zu entfernen ;-)
Ermittle aaa so, dass der Inhalt der vom Graphen der Funktion fff und den beiden Koordinatenachsen eingeschlossenen Fläche den Wert AAA hat.
a = 4 stimmtIch hatte beide Nullstellen links und rehtsder y-Achse verstanden.
Nullstelle von f(x)ist x= 2a \frac{2}{\sqrt{a}} a2
∫02/a \int\limits_{0}^{2/\sqrt{a}} 0∫2/a (2-ax2) dx=43a \frac{4}{3\sqrt{a}} 3a4
83=43a\frac{8}{3}= \frac{4}{3\sqrt{a}} 38=3a4
Dann ist a=14 \frac{1}{4} 41.
Nullstelle von f(x) ist x= 2a \frac{2}{\sqrt{a}} a2
x0=2a ⟹ a=12x_0 = \sqrt{\frac 2a} \implies a = \frac12x0=a2⟹a=21
verschiebe den Punkt links vertikal mit der Maus bis sich die gewünschte Flächengröße AAA einstellt.
Hallo,
ermittle zunächst die Nullstellen der Funktion.
a−ax2=0−ax2=−2x2=2ax=±2a \begin{aligned} a-a x^{2} &=0 \\-a x^{2} &=-2 \\ x^{2} &=\frac{2}{a} \\ x &=\pm \sqrt{\frac{2}{a}} \end{aligned} a−ax2−ax2x2x=0=−2=a2=±a2
Bestimme die Stammfunktion und berechne das Integral zwischen den beiden Nullstellen in Abhängigkeit von a.
Fa(x)=2x−13ax3F_a(x)=2 x-\frac{1}{3} a x^{3} Fa(x)=2x−31ax3
F(−2a)=2⋅(−2a)−13a(−2a)3=−22a+13⋅a⋅2a⋅2a=−22a+23⋅2a=−432a \begin{aligned} F\left(-\sqrt{\frac{2}{a}}\right) &=2 \cdot\left(-\sqrt{\frac{2}{a}}\right)-\frac{1}{3} a\left(-\sqrt{\frac{2}{a}}\right)^{3} \\ &=-2 \sqrt{\frac{2}{a}}+\frac{1}{3} \cdot a \cdot \frac{2}{a} \cdot \sqrt{\frac{2}{a}} \\ &=-2 \sqrt{\frac{2}{a}}+\frac{2}{3} \cdot \sqrt{\frac{2}{a}} \\ &=-\frac{4}{3} \sqrt{\frac{2}{a}} \end{aligned} F(−a2)=2⋅(−a2)−31a(−a2)3=−2a2+31⋅a⋅a2⋅a2=−2a2+32⋅a2=−34a2
F(2a)=2⋅2a−13a(2a)3=22a−13a⋅2a⋅2a=22a−232a=432a \begin{aligned} F\left(\sqrt{\frac{2}{a}}\right) &=2 \cdot \sqrt{\frac{2}{a}}-\frac{1}{3 }a\left(\sqrt{\frac{2}{a}}\right)^{3} \\ &=2 \sqrt{\frac{2}{a}}-\frac{1}{3 }a \cdot \frac{2}{a} \cdot \sqrt{\frac{2}{a}} \\ &=2 \sqrt{\frac{2}{a}}-\frac{2}{3} \sqrt{\frac{2}{a}} \\ &=\frac{4}{3} \sqrt{\frac{2}{a}} \end{aligned} F(a2)=2⋅a2−31a(a2)3=2a2−31a⋅a2⋅a2=2a2−32a2=34a2
−432a−432a=−832a -\frac{4}{3} \sqrt{\frac{2}{a}}-\frac{4}{3} \sqrt{\frac{2}{a}}=-\frac{8}{3} \sqrt{\frac{2}{a}}−34a2−34a2=−38a2
Setze dein Ergebnis = 8/3 und löse nach a auf.
−832a=832a=−12a=1a=2 \begin{aligned}-\frac{8}{3} \sqrt{\frac{2}{a}} &=\frac{8}{3} \\ \sqrt{\frac{2}{a}} &=-1 \\ \frac{2}{a} &=1 \\ a &=2 \end{aligned} −38a2a2a2a=38=−1=1=2
Gruß, Silvia
... und den beiden Koordinatenachsen eingeschlossenen Fläche den Wert A hat.
zugegebener Maßen ist die Aufgabenstellung hier nicht ganz eindeutig.
Stimmt, wenn du es so sagst, reicht wohl die Hälfte der Fläche.
Außerdem hat die Gleichung 2a=−1\sqrt{\frac2a}=-1a2=−1 wohl keine Lösung.
f(x)=a−x2a∈R+A=163f(x)=a-x^2 \quad a \in \mathbb R^+ \\ A = \frac{16}3f(x)=a−x2a∈R+A=316
Nullstelle:
x=ax=\sqrt{a} x=a
163=∫0a(a−x2)⋅dx=[a⋅x−13x3]0a=[a⋅a−13⋅a32]−0=[a32−13⋅a32]=23⋅a32 \frac{16}{3}=\int \limits_{0}^{\sqrt{a}}\left(a-x^{2}\right) \cdot d x=\left[a \cdot x-\frac{1}{3} x^{3}\right]_{0}^{\sqrt{a}}=\left[a \cdot \sqrt{a}-\frac{1}{3} \cdot a^{\frac{3}{2}}\right]-0=\left[a^{\frac{3}{2}}-\frac{1}{3} \cdot a^{\frac{3}{2}}\right]=\frac{2}{3} \cdot a^{\frac{3}{2}} 316=0∫a(a−x2)⋅dx=[a⋅x−31x3]0a=[a⋅a−31⋅a23]−0=[a23−31⋅a23]=32⋅a23163=23⋅a32 \frac{16}{3}=\frac{2}{3} \cdot a^{\frac{3}{2}} 316=32⋅a23a32=8∣23 a^{\frac{3}{2}}=\left.8\right|^{\frac{2}{3}} a23=8∣32a=4 a=4 a=4f(x)=4−x2 f(x)=4-x^{2} f(x)=4−x2
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