Bestimmter Abstand von Dreieck zu Punkt auf x2-Achse

Question

Aufgabe:

Es sind drei Punkte gegeben A (4,0,2) B(2,2,4) und C(1,-1,3)

Die Punkte bilden ein Dreieck.

Nun ist gegeben, dass die Punkte ABC zusammen mit S eine Pyramide mit dem Volumen 20 VE bilden.

Gesucht ist nun ein Punkt S auf der x2-Achse mit x2>0.

Ich habe erstmal die Grundfläche des Dreiecks berechnet, um dann an die Höhe der Pyramide zu kommen. Da habe ich 12,25 raus. Wie finde ich nun S? Stimmt die Höhe?

Problem/Ansatz:

ich habe die Formel d=  | (a-p)*n | / |n| genommen.

Dann die Werte eingesetzt: 12,25 = | (0, x2, 0) - (4, 0, 2) * (4,-4,8) | / 4*Wurzel(6)

und komme dann mit Fallunterscheidung auf x2 = -38 und x2= 22

Da x2 größer null sein soll also 22.

Passt das?

Answer 1

Aloha :)

Der gesuchte Punkt liegt \(S(0;x_2;0)\) liegt auf der \(x_2\)-Achse mit \(x_2>0\). Die drei Vektoren$$\overrightarrow{AB}=\vec b-\vec a=\begin{pmatrix}-2\\2\\2\end{pmatrix}\quad;\quad\overrightarrow{AC}=\vec c-\vec a=\begin{pmatrix}-3\\-1\\1\end{pmatrix}\quad;\quad\overrightarrow{AS}=\vec s-\vec a=\begin{pmatrix}-4\\x_2\\-2\end{pmatrix}$$ spannen dann eine Pyramide mit dreieckiger Grundfläche auf. Deren Volumen ist \(\frac16\) des Volumens des durch die 3 Vektoren aufgespannten Spats und soll gleich \(20\) Volumeneinheiten betragen:$$20\stackrel!=V=\frac16\left|\operatorname{det}\begin{pmatrix}-2 & -3 & -4\\2 & -1 & x_2\\2 & 1 & -2\end{pmatrix}\right|=\frac16\left|-4x_2-32\right|\stackrel{(x_2>0)}{=}\frac{4x_2+32}{6}\quad\implies$$$$x_2=\frac{6\cdot20-32}{4}=22$$

Damit ist dein Ergebnis \(x_2=22\) mit einem anderen Rechenweg bestätigt.