Hallo,
Du stellst immer die gleichen Fragen. Es sollte sich doch langsam ein Lerneffekt einstellen - oder?
Es ist ein Integral zu bestimmen zwischen \(0\) und dem Schnittpunkt \(x_0\) der Funktion mit der X-Achse - also ihrer Nullstelle im positiven. Diese Nullstelle gilt es als erstes zu berechnen:$$f(x) = -\frac14x^2 + a \to 0 \\\implies x_0^2 = 4a \implies x_0 = 2\sqrt a \gt 0$$Die negative Lösung entfällt, da hier nur die Lösung im 1. Quadranten betrachtet wird. Also ist das Integral$$\begin{aligned}\int\limits_{x=0}^{x_0} f(x)\,\text dx &= \int\limits_{x=0}^{2\sqrt a} \left(-\frac14x^2 + a\right)\,\text dx\\&= \left[-\frac1{12}x^3 + ax\right]_{x=0}^{2\sqrt a}\\&=2\sqrt a \left( -\frac1{12} \cdot 4a + a\right)\\&= 2\sqrt a \cdot \frac23 a \\&= \frac43 \sqrt{a^3}\end{aligned}$$und dieser Wert soll gleich \(A=32/3\) sein:$$\begin{aligned}\frac43 \sqrt{a^3}&= \frac{32}{3} \\ \sqrt{a^3} &= 8 \\ a^3 &= 64 \\ a &= 4 &&|\,a \in \mathbb R^+\end{aligned}$$
https://www.desmos.com/calculator/vwrshedorm
zieh' mit der Maus den Punkt \(a=\dots\) nach oben, bis die Fläche den Wert \(32/3\) annimmt.
Gruß Werner
