Ableitung d. Funktion ((x^2-x^-2))^4 - Terme Zusammenfassen

Question

Hallo :) ich muss folgende Funktion ableiten:

f(x)= (x^2-x^-2)^4

ich komme auf die richtige Ableitung bis hier: 4*(2*x+2/x^3)*(x^2-1/x^2)^3

das Endergebnis lautet: (8 (x^4 -1)^3 *  (x^4+1) ) / x^9

ich verstehe gar nicht wie ich die Terme zusammenfassen muss um auf das zu kommen

würde mich sehr freuen, wenn mir jemand das erklären könnte (also welche Regeln man anwenden muss oder was die Zwischenschritte sind)

Comments

Ableitung d. Funktion ((x²-x^-2))⁴

f(x)= (x²-x^-2)^-4

Bitte entscheide dich, welche diser beiden Funktionen du ableiten möchtest.

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es tut mir leid, die positive Potenz stimmt

Answer 1

Aloha :)

Ich komme bei der Ableitung von$$f(x)=\left(x^2-x^{-2}\right)^{-4}$$überhaupt nicht auf das angebliche Endergebnis:$$f'(x)=\underbrace{-4\left(x^2-x^{-2}\right)^{-5}}_{\text{äußere Ableitung}}\cdot\underbrace{\left(2x-(-2)x^{-3}\right)}_{\text{innere Ableitung}}=-\frac{4\left(2x-(-2)x^{-3}\right)}{\left(x^2-x^{-2}\right)^5}=-\frac{8\left(x+x^{-3}\right)}{\left(x^2-x^{-2}\right)^5}$$$$\phantom{f'(x)}=-\frac{8\left(x+\frac{1}{x^3}\right)}{\left(x^2-\frac{1}{x^2}\right)^5}=-\frac{\frac{8}{x^3}\left(x^4+1\right)}{\left(\frac{1}{x^2}\left(x^4-1\right)\right)^5}=-\frac{\frac{8}{x^3}\left(x^4+1\right)}{\frac{1}{x^{10}}\left(x^4-1\right)^5}=-8x^7\,\frac{x^4+1}{(x^4-1)^5}$$

Wenn die Funktion jedoch so lautet:$$f(x)=\left(x^2-x^{-2}\right)^4$$wäre die Ableitung:$$f'(x)=\underbrace{4\left(x^2-x^{-2}\right)^{3}}_{\text{äußere Ableitung}}\cdot\underbrace{\left(2x-(-2)x^{-3}\right)}_{\text{innere Ableitung}}=4\left(x^2-\frac{1}{x^2}\right)^3\cdot2\left(x+\frac{1}{x^3}\right)$$$$\phantom{f'(x)}=8\left(\frac{1}{x^2}\left(x^4-1\right)\right)^3\left(\frac{1}{x^3}\left(x^4+1\right)\right)=8\frac{1}{x^6}(x^4-1)^3\frac{1}{x^3}(x^4+1)$$$$\phantom{f'(x)}=\frac{8(x^4-1)^3(x^4+1)}{x^9}$$

Comments

Ich habe meine Antwort überarbeitet, weil du vermutlich beim Exponenten das falsche Vorzeichen angegeben hast.

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ja genau das mit 4(x^2… usw.) habe ich auch so

ich komme dann aber auf den Teil mit der 8 nicht also weiß nicht wie man das zusammenfasst

welche Regeln muss ich da kennen? muss mir das nochmal anschauen

danke

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Aus den beiden runden Klammern habe ich die Brüche ausgeklammert. Beim ersten Bruch also den Faktor \(\frac{1}{x^2}\) und beim zweiten Bruch den Faktor \(\frac{1}{x^3}\).

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achso und 1/(x^6) * 1/(x^3) ergibt dann 1/(x^9)

und deswegen steht dann alles durch x^9

okay verstehe ich danke :)