Basisbestimmung eines Vektorraumes

Question

Aufgabe:

Ist die Menge der Elemente x ∈ R³, die der Bedingung n · x = 0 (Skalarprodukt) mit n = (−1,7,2) genügen ein Vektorraum? Bestimme gegebenenfalls eine Basis und fertige eine Skizze an! Welche Rolle spielt der Vektor n?

Problem/Ansatz:

Das es ein Vektorraum ist habe ich ich bereits festgestellt. Mir ist aber nicht klar wie man nun eine Basis bestimmt :(

Answer 1

(7,1,0) zum Beispiel ist leicht zu finden und kann als Basisvektor herhalten. Findest du auf die gleiche Weise noch zwei Vektoren?

Comments

Wie kommst du auf (7,1,0)?

Gibt es eigentlich ein allgemeines Verfahren nachdem man vorgeht um eine Basis zu bestimmen?

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Es gibt auch allgemeine Verfahren zum Aufstellen einer Basis, hier habe ich aber einfach einen Vektor bestimmt, der orthogonal zu n ist.

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Ok, danke :) Wie würde man beim allgemeinen Verfahren vorgehen?

Answer 2

\((-1,7,2)\cdot x =0\) ist ein LGS mit einer Gleichung:

\(x_1=7x_2+2x_3\). Nun setzt man wie bei LGS üblich

1. \(x_2=1,\; x_3=0\). Das liefert \(b_1=(7,1,0)\)

2. \(x_2=0,\; x_3=1\). Das liefert \(b_2=(2,0,1)\).

Damit haben wir eine Basis \(b_1,b_2\) des Lösungsraums.

Comments

Danke :) Warum gibt es eigentlich keinen 3. Basisvektor?

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Der Rang der einzeiligen Koeffizientenmatrix ist 1, also

hat der Lösungsraum die Dimension 3-1=2.

Gäbe es im übrigen drei Basisvektoren, dann würden diese

den ganzen Raum aufspannen und nicht nur den Teil, der

orthogonal zu n ist.

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Danke dir :))