Konvergenzkriterium anwenden | Wurzelkriterium

Question

\( \sum\limits_{k=0}^{\infty}{\frac{(k!)^2}{(2k)!}*3^k} \)

Hier soll ich nun Konvergenz, bzw. Divergenz zeigen.

Hierzu hab ich das Quotientenkriterium benutzt, da das die einfachste Variante für Fakultäten ist.

Ich weiß nur gerade nicht wie ich weiter mache, kann mir da jemand helfen?

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Wie weit bist Du denn gekommen?

Answer 1

Das Quotientenkriterium ist der richtige Ansatz, bei Fakultäten bietet es sich meist an Terme so auszuklammern bzw abzuspalten, dass diese sich kürzen lassen.

\( \lim\limits_{n\to\infty} |\frac{a_{n+1}}{a_n}| = \lim\limits_{k\to\infty} \frac{((k+1)!)^2 \cdot 3^{k+1}}{(2(k+1))!} \cdot \frac{(2k)! }{(k!)^2 \cdot 3^k}  = \lim\limits_{k\to\infty} \frac{((k+1) \cdot k!)^2 \cdot 3 \cdot 3^{k}}{(2k+2)(2k+1)(2k)!} \cdot \frac{(2k)!}{(k!)^2 \cdot 3^k} \\ = \lim\limits_{k\to\infty} \frac{(k+1)^2 \cdot (k!)^2 \cdot 3 \cdot 3^{k}}{(2k+2)(2k+1)(2k)!} \cdot \frac{(2k)!}{(k!)^2 \cdot 3^k} = \lim\limits_{k\to\infty} \frac{(k+1)^2 \cdot 3}{(2k+2)(2k+1)}  = \lim\limits_{k\to\infty} \frac{(k+1)^2 \cdot 3}{(2k+2)(2k+1)} \\ = \lim\limits_{k\to\infty} \frac{(k+1)^2 \cdot 3}{2(k+1)(2k+1)} = \lim\limits_{k\to\infty} \frac{(k+1) \cdot 3}{2(2k+1)} = \frac{3}{2} \cdot \lim\limits_{k\to\infty} \frac{k+1}{2k+1} = \frac{3}{2} \cdot (\lim\limits_{k\to\infty} \frac{k}{2k+1}  + \lim\limits_{k\to\infty} \frac{1}{2k+1}) \\ = \frac{3}{2} \cdot \lim\limits_{k\to\infty} \frac{k}{2k+1} = \frac{3}{2} \cdot \lim\limits_{k\to\infty} \frac{k}{k(2+\frac{1}{k})}  = \frac{3}{2} \cdot \lim\limits_{k\to\infty} \frac{1}{2+\frac{1}{k}} =  \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{4} < 1\).

Also konvergiert die Reihe (absolut).

Comments

Woah, das ist schon ein dickes ding, Danke vielmals! Ich versuche das jetzt mal zu verstehen und melde mich dann wenn ich Fragen haben sollte!

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Stimmt, ich wollte es zum Verständnis möglichst ausführlich schreiben :) die einzigen "Tricks" die hier verwendet wurden, sind das Abspalten von Termen aus den Fakultäten (also z.B. die Umformung von (k+1)! -> (k+1)*k!), selbiges bei den Exponenten (also 3^(k+1) -> 3*3^k) und die Tatsache, dass (a*b)^n = a^n * b^n ist (und ggf noch das Ausklammern von k im vorletzten Schritt, alternativ hätte man dort auch die Regel von L'Hôpital nutzen können).

Viel Glück!

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Alles klar habs verstanden, habe mir gerade eine genauere erklärung zum umformen der Fakultät angeguckt, simpler als ich dachte, nochmals vielen dank!