Wurzelkriterium Limes bestimmen

Question

Aufgabe:

Limes berechnen einer Reihe

Problem/Ansatz:

Hallo, ich versuche mithilfe des Wurzelkriteriums die Konvergenz einer Reihe zu beweisen aber komme nicht weiter. Wie sollte man weiter vorgehen?

lim für n -> ∞ =

Text erkannt:

\( \left(\frac{3^{n}+2^{n}+1}{4^{n}+1}\right)^{\frac{1}{n}} \)

Comments

Es genügt hier zu berechnen: (3^n/4^n)^(1/n)  für n -> oo

Answer 1

Dividiere Zähler und Nenner durch \(4^n\) (ähnlicher Trick wie bei Polynomen), dann steht nur geometrische Folgen da, deren Grenzwert bekannt ist.

Comments

Hallo, sorry, das verstehe ich nicht ganz.

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Was verstehst Du nicht? Folge der Anleitung oben. Kürzen bzw. Erweitern von Brüchen kannst Du?

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(\( \frac{(3^n+2^n+1)4^n}{(4^n+1)4^n} \))^\( \frac{1}{n} \)

Was jetzt?

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Ich sagte: "dividiere .... durch \(4^n\)", nicht multipliziere. Und lass das \(^{1/n}\) erstmal weg.

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Ist nicht: \( \frac{(3^n+2^n+1)\frac{1}{4^n}}{(4^n+1)\frac{1}{4^n}}=\frac{(3^n+2^n+1)4^n}{(4^n+1)4^n} \) ?

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Ja, schon, aber dann kannst Du auch "mal \(\pi^n\)" machen. Es steckt ja ein Sinn dahinter, nun forme Zähler und Nenner des linken Bruchs um.

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Und was jetzt ^^ 
$$ \frac{(\frac{3}{4})^n+(\frac{2}{4})^n+(\frac{1}{4})^n}{(\frac{4}{4})^n+(\frac{1}{4})^n} $$

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Siehe Anleitung oben.

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Ich sehe gerade, es geht sogar einfacher ohne die Erweiterung.

Schätze dann \(a_n\) (ohne zu erweitern) ab mithilfe von \(2^n\le 3^n\) und $1\le 3^n\) im Zähler und \(1\ge 0\) im Nenner.

Dann zwei Varianten:

1. mit Majorantenkriterium und geometrischer Reihe

oder

2. Wurzelkriterium

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Siehe Anleitung oben.

Ich würde es gerne nach deiner Anleitung oben machen, aber leider weiß ich nicht wie. Darf ich mir jeden Bruch einzeln als geometrische Reihe vorstellen?

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Sorry für meinen ersten, etwas unklareren Ansatz.

Es ist einfacher mit der letzten Anleitung, und da kommt auch (am Ende) eine geometrische Reihe ins Spiel.

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Schätze dann \(a_n\) (ohne zu erweitern) ab mithilfe von \(2^n\le 3^n\) und $1\le 3^n\) im Zähler und \(1\ge 0\) im Nenner.
..
2. Wurzelkriterium

Meinst du mit Abschätzen Folgendes:

\(\sqrt[n]{(\frac{3}{4})^n }\)

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Ich meine "abschätzen nach oben", d.h. eine größere Folge finden (mithilfe obiger Tipps), die leichter handhabbar ist. Mache also \(a_n\) größer zu einer einfacheren Folge.

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Aha, auch trancelocation braucht Abschätzungen. Auf dem obigen, von mir vorgeschlagenen Weg wäre es mMn einfacher gewesen.

Answer 2

Hier nochmal kurz per Wurzelkriterium.

$$\left(\frac{3^{n}+2^{n}+1}{4^{n}+1}\right)^{\frac{1}{n}} =\left(\frac{3^n(1+\left(\frac 23\right)^{n}+\left(\frac 13\right)^n)}{4^{n}\left(1+\left(\frac 14\right)^n\right)}\right)^{\frac{1}{n}}$$

$$=\frac 34\cdot \left(\frac{1+\left(\frac 23\right)^{n}+\left(\frac 13\right)^n}{1+\left(\frac 14\right)^n}\right)^{\frac{1}{n}}\stackrel{n\to\infty}{\longrightarrow}\frac 34\cdot 1 = \frac 34$$

Ergänzung zur Nachfrage:

Für \(a>0\) gilt \(\displaystyle \lim_{n\to\infty}a^{\frac 1n} = 1\). Jetzt musst du nur noch den Bruch geeignet abschätzen. Für alle \(n\in\mathbb N\) gilt:

$$\frac 12 = \frac{1+0+0}{1+1} \leq \frac{1+\left(\frac 23\right)^{n}+\left(\frac 13\right)^n}{1+\left(\frac 14\right)^n} \leq \frac{1+1+1}{1+0}= 3$$

Comments

Und wie begründet man den Grenzwert genau?

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@nudger
Das habe ich mit Absicht weggelassen.

Darauf gehe ich ein, wenn von @Marchendiebiene diesbezüglich nachgefragt wird.

Du weißt sicherlich, wie man das schnell zeigt, oder?

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Soviel zu " nochmal kurz"... Da ist es dann in ggt22's Kommentar noch kürzer...

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@nudger

Lieber kurz und richtig als ... siehe deine Antwort + Kommentare :-D

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Ich halte es für unzureichend, über das Weglassen der anderen Terme hinwegzugehen - insbesondere deshalb, weil hier im Anfängerbereich geantwortet wird - insbesondere, weil die saloppe Antwort von ggT im Raum steht.

Ich befürchte folgenden Kurzschluss:

$$(1+1/n)^{1/n} \to 1 \text{  also auch }(1+1/n)^n \to 1$$

(Zur Sicherheit: Die mathematischen Sachverhalte sind mir bekannt, es geht um die Frage, was im Grundstudium explizit gesagt werden sollte)

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Ein Praxis-Beispiel zu meinen Bedenken aus jüngster Zeit

https://www.mathelounge.de/1049930/bestimmen-sie-den-konvergenzradius-von-n-0-frac-n-1-n-2-n-2-x

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Darauf gehe ich ein, wenn von @Marchendiebiene diesbezüglich nachgefragt wird.

Hallo @trancdelocation, erstmal vielen Dank für deine Hilfe. Ich interessiere mich dafür, wie man nun den Grenzwert begründet. Ich denke, dass wenn $$ \lim\limits_{n\to\infty}|a_n|^\frac{1}{n} = α $$ und $$ α < 1 $$ ist, so konvergiert die Reihe. Da bei uns α = \( \frac{3}{4} \) <1 ist, könnte man auf Konvergenz schließen. (?)

Und wurde also nun bei der Berechnung der rechte Term neben \( \frac{3}{4} \) nicht mehr beachtet?

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@Marchendiebiene

Ich habe noch etwas in meiner Antwort ergänzt.

Und ja, wir können nun laut Wurzelkriterium auf Konvergenz schließen.