Grenzwert von Folgen

Question

Aufgabe:

Gegeben sei die Folge \( \left(a_{n}\right)_{n=1}^{\infty} \), wobei \( a_{n}=n^{2}+4 n \). Sei \( b_{n}=\frac{a_{n}}{n^{2}} \) und \( c_{n}=\frac{1}{a_{n}} \). Beurteilen Sie, ob die folgenden Aussagen richtig oder falsch sind:

(1) Die Folge \( \left(a_{n}\right)_{n=1}^{\infty} \) ist streng monoton wachsend.

(2) \( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} b_{n}= \)

(3) Es gilt \( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} a_{n}=4 \)

Problem/Ansatz:

Answer 1

1)  Ja !

2)  ... = 1

3) falsch, geht gegen unendlich

Answer 2

Aloha :)

Wir bauen die Folgenterme zunächst etwas um:$$a_n=n^2+4n=n^2+4n+\overbrace{4-4}^{=0}=(n^2+4n+4)-4=(n+2)^2-4$$$$b_n=\frac{a_n}{n^2}=\frac{n^2+4n}{n^2}=\frac{n^2}{n^2}+\frac4n=1+\frac4n$$

zu 1) Ja, die Folge \((a_n)\) ist streng monoton wachsend, denn:$$a_{n+1}-a_n=\left(\underbrace{((n+1)+2)^2-4}_{=a_{n+1}}\right)-\left(\underbrace{(n+2)^2-4}_{=a_{n+1}}\right)=(n+3)^2-(n+2)^2>0$$

zu 2) \(\lim\limits_{n\to\infty}b_n=\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\frac4n\right)=1+0=1\)

zu 3) Das ist falsch, denn \((a_n)\) ist streng monoton wachsend und \(a_1=5\).

Comments

Danke sehr!

Tschakabumba, Könnten Sie mir Nachhilfe geben?

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Gern geschehen ;)

Allerdings gebe ich keine Nachhilfe, das kriege ich zeitlich mit meinen vielen kleinen beruflichen Terminen nicht gut koordiniert.

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Der Umbau von a_n ist für die erst Teilaufgabe nicht nötig.

Da n monoton wachsend ist, ist sowohl n^2 als auch 4n und damit auch die Summe der beiden monoton wachsend.

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Nein, nötig ist er nicht, erleichtert aber später das Verständnis der Monotonie.

Answer 3

1. Rechne a(n+1) - a(n)

Also (n+1)^2+4(n+1) - n^2-4n

= n^2 + 2n + 1 + 4n + 4 - n^2 -  4n

= 2n + 5 und das ist für alle n größer 0, also ist an streng monoton wachsend.

2. bn = (n^2+4n)/n^2= 1+4/n und für n nach unendlich wäre das 1

und 3. nein, es divergiert für n nach unendlich.