Bestimmen Sie die Grenzwerte: lim x→0 sin(3x)/ln(1+x) und 1/ln(1+x)-1/x und (x-tan(x))/(x-sin(x))

Question

Bestimmen Sie die folgenden Grenzwerte:

\( \text{a) } \lim \limits_ { x \rightarrow 0 } \frac { \sin ( 3 x ) } { \log ( 1 + x ) } \)

\( \text{b) } \lim \limits_ { x \rightarrow 0 } \left( \frac { 1 } { \log ( 1 + x ) } - \frac { 1 } { x } \right) \)

\( \text{c) } \lim \limits_ { x \rightarrow 0 } \frac { x - \tan x } { x - \sin x } \)

Answer 1

Die lassen sich alle (nach ein bisschen Umformen) mit dem Satz von l'Hospital ausrechnen.

a) Für den ersten gehen direkt Zähler und Nenner gegen 0, also wendet man einmal den Satz von l'Hospital an und untersucht den Grenzwert des Quotienten der Ableitungen:

$$ \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { 3 \cos ( 3 x ) } { \frac { 1 } { 1 + x } } = \lim _ { x \rightarrow 0 } 3 ( 1 + x ) \cos ( 3 x ) = 3 $$

Da der Grenzwert existiert existiert auch der gesuchte Grenzwert und ist mit dem berechneten identisch.

b) Hier muss man wie gesagt erstmal noch ein bisschen klug umformen. Zum Beispiel indem man beide Terme auf einen Hauptnenner bringt:

$$ \lim _ { x \rightarrow 0 } \left( \frac { 1 } { \log ( 1 + x ) } - \frac { 1 } { x } \right) = \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { x - \log ( 1 + x ) } { x \log ( 1 + x ) } $$

Betrachte:

$$ \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { 1 - \frac { 1 } { 1 + x } } { \log ( 1 + x ) + \frac { x } { 1 + x } } = \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { 1 + x - 1 } { ( 1 + x ) \log ( 1 + x ) + x } = \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { x } { x + ( 1 + x ) \log ( 1 + x ) } \rightarrow ^ { \prime } 0 / 0 ^ { \prime } $$

Betrachte:
$$ \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { 1 } { 1 + \log ( 1 + x ) + 1 } = \frac { 1 } { 2 } $$

Man muss hier also zweimal l'Hospital anwenden.

c) Das Vorgehen ist das gleiche:

$$ \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { x - \tan ( x ) } { x - \sin ( x ) } = \frac { x \cos ( x ) - \sin ( x ) } { x \cos ( x ) - \sin ( x ) \cos ( x ) } \rightarrow ^ { \prime } 0 / 0 ^ { \prime } \\ \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { \cos ( x ) - x \sin ( x ) - \cos ( x ) } { \cos ( x ) - x \sin ( x ) - \cos ^ { 2 } ( x ) + \sin ^ { 2 } ( x ) } \frac { - x \sin ( x ) } { \cos ( x ) - x \sin ( x ) - 1 + 2 \sin ^ { 2 } ( x ) } \rightarrow ^ { \prime } 0 / 0 \\ \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { - x \cos ( x ) - \sin ( x ) } { - \sin ( x ) - x \cos ( x ) - \sin ( x ) + 4 \cos ( x ) \sin ( x ) } \rightarrow ^ { \prime } 0 / 0 ^ { \prime } \\ \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { x \sin ( x ) - \cos ( x ) - \cos ( x ) } { - \cos ( x ) - 2 \cos ( x ) + x \sin ( x ) + 4 \cos ^ { 2 } ( x ) - 4 \sin ^ { 2 } ( x ) } = - \frac { 1 + 1 } { - 1 - 2 + 4 } = - 2 $$

Comments

Prima Lösung.

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Wie kommt man denn von 1-1/(1+x) auf 1+x-1? Hab bei der b) das gleiche raus bekommen aber ich versteh diese Umformung leider nicht wäre nett wenn du mir das erklären könntest.

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1 - 1/(1+x) = (1+x)/(1+x) - 1/(1+x) = (1+x-1)/(1+x)

Dann wird ja oben und unten jeder 'Summand' mit (1+x) multiplziert. Deshalb ist (1+x) 'unten' weg.

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also das erweitern ist mir soweit ganz klar aber dennoch versteh ich nicht wieso der zähler stehen bleibt und nur der nenner wegfällt

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Ich hab in dem Schritt eigentlich nur den ganzen Bruch mit (x+1) erweitert. Also:

 

(1-1/(1+x))/(log(1+x)+x/(1+x))

Jetzt erweitere ich mit (1+x), das heißt ich nehme Zähler und Nenner mit 1+x mal:

(1+x)*(1-1/(1+x))/((1+x)*(log(1+x)+x/(1+x))) = (1*(1+x)-1))/((1+x)*log(1+x)+x)

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Der satz von l'hopital wurde aber nicht im skript erwähnt.. deshalb noch nicht zulässig. gibt es eine andere art es zu beweisen..? Lg

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Welche Regeln zum Berechnen von Grenzwerten stehen denn bisher im Skript? Habt ihr z.B.  Ableitung schon definiert?

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Jaa  die Ableitung wurde definiert.

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die Regel von l'Hôpital wurde schon gemacht. Satz 9.

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Frage zur C)

Ist die Idee bei der Aufgabe (oder bei allen Arten dieser Aufgabe) erstmal versuchen alle Zahlen auf sin/cos-Funktionen zu bringen?

du hast ja zuerst erweitert und nicht direkt abgeleitet.

Könnte man das auch ohne Erweitern schaffen die Aufgabe zu lösen?

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@Rambozambo: ja.

Ich komme ohne Erweitern zuerst 

oben auf 1- 1/cos² x  = 1 - cos^-2 x

unten auf 1 -  cos x.

Weil immer noch 0/0 . Nochmals ableiten

oben : - 2 cos^-3 x * sin x

unten: sin x

für x≠0 kürzt sich sin x raus.

Nun kann man im Grenzwert x=0 einsetzen und erhält auch - 2.

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Richtig, ich wollte erstmal nur Sinus und Cosinus dastehen haben, damit das Ableiten möglichst leicht wird. Das liegt größtenteils daran, dass ich für die Ableitung vom Tangens immer noch einmal mehr nachdenken muss und ich gerne möglichst wenig nachdenke :-)

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Du leitest in der b ja die Funktion ab, allerdings Zähler Und Nenner einzeln, müsste man nicht eigentlich die Quotientenregel anwenden?

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Der Witz der Regel von Hospital ist, dass Zähler und Nenner separat abgeleitet werden dürfen, wenn die Bedingung '0/0' erfüllt ist. Lies mal den Satz 9 genau nach.

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bei der b) kann es sein dass du falsch mit dem kehrwert multipliziert hast, um den bruch x/1+x  wegzubekommen?

ich meine konkret 2. zeile Betrachte, vom 1. zum mittlerer Term.

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Das ist schon richtig. Man muss ja nur überall mit (x+1) multiplizieren.

Answer 2

Ich führe bei a) mal auf die Definition der Ableitung zurück  (läuft ± auf Hospital hinaus)

Folgendes ist eine mögliche Schreibweise der Definition der Ableitung von f an der Stelle 0:

$$ f ^ { \prime } ( 0 ) = \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { f ( x ) - f ( 0 ) } { x - 0 } = \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { f ( x ) - f ( 0 ) } { x } $$

Man braucht also ein x im Nenner. Deshalb wird oben und unten mit 1/x erweitert:

$$ \lim _{ x→0 }{ \frac { sin (3x) }{ ln(1+x) }  } =\quad \lim _{ x→0 }{ \frac { \frac { sin (3x) }{ x }  }{ \frac { ln(1+x) }{ x }  }  } =\\ \\ =\frac { \lim _{ x→0 }{ \quad  } \frac { sin (3x)\quad -\quad sin (3*0) }{ x }  }{ \lim _{ x→0 }{ \quad  } \frac { ln(1+x)\quad -\quad ln(1+0) }{ x } } $$

Jetzt hat man oben die Ableitung von sin (3x) an der Stelle 0 und unten jene von ln(1+x) an der Stelle 0.

Diese berechne ich nun:

$$ f(x)\quad =\quad sin(3x)\\ f'(x)\quad =\quad 3\quad cos\quad (3x)\\ f'(0)\quad =\quad 3\\ \\ g(x)\quad =\quad ln\quad (1+x)\\ g'(x)\quad =\quad \frac { 1 }{ 1+x } *1\\ g'(0)\quad =\quad 1 \\ \text{Gesuchter Grenzwert} =\frac { f'(0) }{ g'(0) } =\frac { 3 }{ 1 } =3 $$

b) und c) sind vielleicht ähnlich möglich. Dumm ist nur, dass man sozusagen 2*rückwärts die Ableitungsdefinition braucht. Julian Mi's Grenzwerte: 3, 0.5 und -2 sind gemäss Graph auf jeden Fall richtig.