Kurvenintegrale und Wegunabhängigkeit

Question

Gegeben sei das Vektorfeld \( \vec{F}=\left(\begin{array}{c}x y \\ x^{2} \\ x-z\end{array}\right) \). Berechnen Sie die Arbeit, die auf einen Körper wirkt, der sich vom Nullpunkt zum Punkt \( (1,2,4) \) auf der Kurve \( C \) bewegt.

Aufgabe 4.1: \( C \) ist die gerade Verbindung beider Punkte.
Aufgabe 4.2: \( C \) ist durch die folgende Parametrisienung festgelegt: \( x=t^{2}, y=2 t^{3}, z=4 t \)
Aufgabe 4.3: Treffen Sie eine Aussage über die Wegunabhängigkeit. Begründen Sie Ihre Aussage mit 2 unterschiedlichen Argumenten.

Problem/Ansatz:

Zu 4.2.: Ich ersetze x,y,z in F mit den gegeben werden, bilde dann die ableitung von x,y,z und multipliziere es mit dem umgewandelten Vektorfeld F. Ich schätze darüber muss ich dann das Integral bilden jedoch bin ich mir bei den grenzen nicht sicher.

Zu 4.1.: Hier weiß ich nicht wie ich die Gerade ohne Parameter mit dem vektorfeld verrechnen soll!?

Zu 4.3.: Keine Ahnung

Answer 1

4.1 Gerade g: c(t)=t*(1,2,4) t von 0 bis 1

4.3 1. F ist die div eines Potentials.

2. 2 Wege, gleiches Ergebnis.

3. rot F=0

Comments

Erstmal vielen dank!

Lösung zur 4.1.: -14/3

Lösung zur 4.2.: -110/21

kann das sein?

Ich habe bei der 4.1 c(t) in F eingesetzt und bekommen dann (2t^2, t^2, -3t), multipliziere es dann mit der Ableitung von c(t) also c'(t)=(1, 2, 4) -->  F*c'(t) = 4t^2 -12t

Über diesen Term bilde ich dann das Integral von 0 bis 1 und bekomme die Lösung?

Bei der 4.2. das gleiche Vorgehen nur mit x=t^2, y=2t^3 und z=4t...