Kurvenintegrale von f längs y bestimmen

Question

Hallo!

Es handelt sich hier um Kurvenintegrale. Ich habe als Übung einige Aufgaben dazu gelöst. Könnte jemand einen Blick werfen und mir eine Rückmeldung geben, ob alle Rechenschritte richtig sind?

Aufgabe:

a) Seien
$f: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3},\left(\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}\right) \mapsto\left(\begin{array}{c} 2 x y \\ -x^{2} \\ x z \end{array}\right) \quad \text { und } \quad \gamma:[0,1] \rightarrow \mathbb{R}^{3}, t \mapsto\left(\begin{array}{c} t \\ t^{2} \\ t(1-t) \end{array}\right)$
Bestimme das Kurvenintegral von $f$ längs $\gamma$.

c) Seien
$f: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3},\left(\begin{array}{l} x \\ y \\ z \end{array}\right) \mapsto\left(\begin{array}{c} x y \\ -z \\ y z \end{array}\right) \quad \text { und } \quad \gamma:[0,1] \rightarrow \mathbb{R}^{3}, t \mapsto\left(\begin{array}{c} t^{2} \\ -t \\ 1 \end{array}\right)$
Bestimme das Kurvenintegral von $f$ längs $\gamma$.

d) Seien
$f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2},\left(\begin{array}{l} x \\ y \end{array}\right) \mapsto\left(\begin{array}{l} y \\ 1 \end{array}\right) \quad \text { und } \quad \gamma:[0,2] \rightarrow \mathbb{R}^{2}, t \mapsto\left(\begin{array}{c} t^{3}-t \\ t^{2} \end{array}\right)$
Bestimme das Kurvenintegral von $f$ längs $\gamma$.

Problem/Ansatz:

a) $\dot{\gamma}=\left(\begin{array}{c}1 \\ 2 t \\ 1-2 t\end{array}\right) \quad F(\gamma(t))=\left(\begin{array}{l}2 \cdot t \cdot t^{2} \\ -t \\ t \cdot(t(1-t))\end{array}\right)$
$\int \limits_{\gamma}\left\langle F_{1} d x\right\rangle=\int \limits_{0}^{1}\left\langle\left(\frac{2 t^{3}}{t \cdot t} \cdot(t(1-t))\right)\left(\begin{array}{c}1 \\ 2 t \\ 1-2 t\end{array}\right)\right\rangle d t=$
$\int \limits_{0}^{1} 2 t^{3}-2 t^{2}+t^{2}-t^{3}-2 t^{3}-2 t^{4} d t=$
$\int \limits_{0}^{1}-t^{3}-t^{2}-2 t^{4} d t=-\frac{t^{4}}{4}-\frac{t^{3}}{3}-\left.\frac{2 t^{5}}{5}\right|_{0} ^{1}$
$=\left(-\frac{1}{4}-\frac{1}{3}-\frac{2}{5}\right)-0=-\frac{15}{60}-\frac{20}{60}-\frac{24}{60}$
$=\frac{-59}{60}=-\frac{59}{60}$

C)

$\dot{\gamma}=\left(\begin{array}{c}2 t \\ -1 \\ 0\end{array}\right) \quad F(\gamma(t))=\left(\begin{array}{c}-t^{2} t \\ -1 \\ -t \cdot 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}-t^{3} \\ -1 \\ -t\end{array}\right)$
$\int \limits_{\gamma}\left\langle F_{1} d x\right\rangle-\int \limits_{0}^{1}\left\langle\left(\begin{array}{c}-t^{3} \\ -1 \\ -t\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}2 t \\ -1 \\ 0\end{array}\right)\right\rangle d t=$
$\int \limits_{0}^{1}-2 t^{4}+1 d t=-2 \frac{t^{5}}{5}+\left.t\right|_{0} ^{1}=$
$=-2 \frac{1}{5}+1=-\frac{2}{5}+\frac{5}{5}=\frac{3}{5}$

D)

$\dot{\gamma}=\left(\begin{array}{c}3 t^{2}-1 \\ 2 t\end{array}\right) \quad F(\gamma(t))=\left(\begin{array}{c}t^{2} \\ 1\end{array}\right)$
$\int \limits_{\gamma}\left\langle F_{1} d x\right\rangle=\int \limits_{0}^{2}\left\langle\left(\begin{array}{c}t^{2} \\ 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}3 t^{2}-1 \\ 2 t\end{array}\right)\right\rangle d t$
$=\int \limits_{0}^{2} 3 t^{4}-t^{2}+2 t d t=\frac{3 t^{5}}{5}-\frac{t^{3}}{3}+\left.\frac{2 t^{2}}{2}\right|_{0} ^{2}$
$=\frac{3 \cdot 2^{5}}{5}-\frac{2^{3}}{3}+\frac{2 \cdot 2^{2}}{2}=\frac{96}{5}-\frac{8}{3}+\frac{8}{2}$
$=\frac{576}{30}-\frac{80}{30}+\frac{12.0}{30}=\frac{616}{30}=$

Comments

Hallo

da da einige Tipfehler oder Leichtsinnsfehle drin sind ist es schwer zu kontrollieren, für Leichtsinns oder Rechenfehler sind wir nicht zuständig, aber dein grundsätzliches Herangehen ist alles richtig.

bei a) etwa ist die zweite Komponente von F nicht -t, sondern -t²

Allerdings hast du es sehr schön aufgeschrieben

Gruß lul

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Lul, ich habe a) nun ausgebessert. Passt das so?

$\begin{array}{l} \mathcal{\gamma}_{\gamma}\left\langle f_{1} d s\right\rangle=\int \limits_{\gamma} 2 x y d x-x^{2} d y+x z d z \\ \dot{\gamma}=\left(\begin{array}{c} 1 \\ 2 t \\ 1-2 t \end{array}\right) \quad f(\gamma(t))=\left(\begin{array}{c} 2 t \cdot t^{2} \\ -t^{2} \\ t \cdot\left(t-t^{2}\right. \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} 2 t^{3} \\ -t^{2} \\ t^{2}-t^{3} \end{array}\right) \\ \langle f(\gamma(t)), \dot{\gamma}(t)\rangle=2 t^{3}-2 t^{3}+2 t^{4}-3 t^{3}+t^{2} \\ \Rightarrow \int \limits_{\gamma}\langle f, d s\rangle=\int \limits_{0}^{1}\left(2 t^{4}-3 t^{3}+t^{2}\right) d t= \\ {\left[\frac{2 t^{5}}{5}-\frac{3 t^{4}}{4}+\frac{t^{3}}{3}\right]_{0}^{1}=\left(\frac{2}{5}-\frac{3}{4}+\frac{1}{3}\right) } \\ \left(\frac{24}{60}-\frac{45}{60}+\frac{20}{60}\right)=-\frac{1}{60} \end{array}$

Answer 1

Ich zeig dir mal am Beispiel c), wie du deine Rechnungen zu diesen Kurvenintegralen mit WolframAlpha überprüfen kannst:

$\dot \gamma (t) = (2 t, -1, 0)^T$ - Das geht so.

$\int_0^1f(\gamma(t))\cdot \dot \gamma(t) \; dt = 0.6$ - Das geht so.

Wenn du erst einmal den Integranden berechnen willst, lässt du die Integration im vorherigen Link weg:

$f(\gamma(t))\cdot \dot \gamma(t) = 1-2t^4$ - Siehe hier.

Comments

Wenn ich die grenzen 0 und 1 eingebe, dann muss ich t=0..1 eingeben, oder? Und das dann immer?

Und muss ich alles einzeln eingeben? Kann ich nicht alles auf einmal eingeben?

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Probiere doch einfach mal auf der Seite rum, was geht.

Außerdem haben die auch eine Menge Beispiele.