Seien f:[a,b] -> ℝ stetig und g ≥ 0 über [a,b] integrierbar (Riemann).
zu zeigen, dass es c ∈ [a,b] gibt mit
\( \int\limits_{a}^{b} \) f(x) g(x) dx = f(c) \( \int\limits_{a}^{b} \) g(x) dx
Ich weiß bereits, dass es so ein c gibt mit
\( \int\limits_{a}^{b} \) f(x) dx = f(c) (b-a)
sowie es ein λ ∈ [inf g , sup g] gibt mit
\( \int\limits_{a}^{b} \) g(x) dx = λ(b-a)
Meine Idee ist nun:
Sei μ ∈ [inf f*g , sup f*g] mit \( \int\limits_{a}^{b} \) fg = μ(b-a)
f(c) * \( \int\limits_{a}^{b} \) g(x) dx = f(c) * λ(b-a) = μ(b-a) = \( \int\limits_{a}^{b} \) f(x) g(x) dx
Nun ist das Problem, dass ich nur behaupte f(c) * λ = μ , falls dies nicht so wäre, würde die Gleichung nicht stimmen.
Daher meine Frage, hat jemand da einen Ansatz dies zu zeigen? Oder ist mein Vorgehen da sogar ganz falsch (hab immerhin die Eigenschaft, dass g ≥ 0 ist nicht genutzt)?
Würde mich sehr freuen wenn mir da jemand weiter helfen kann :)
