Finden Sie eine Folge von Riemann-integrierbaren Funktionen

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

Es seien \( a, b \in \mathbb{R} \) mit \( a<b \). Finden Sie eine Folge von Riemann-integrierbaren Funktionen auf \( [a, b] \) so, dass
\( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \int \limits_{a}^{b} f_{n}(x) \mathrm{d} x \)
nicht existert, aber p.w.
\( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} f_{n}=f \)
für eine beschränkte Funktion \( f \) gilt.

Problem/Ansatz:

Wie gehe ich hier ran? Ich komme nicht weiter

Comments

Formalisiere die Idee :

Answer 1

Eine ganz simple Folge Riemann-integrierbarer Funktionen:

Guckst du hier

(Nutze den Schieberegler für \(n\) und beobachte auch das Integral in Zeile 6)

Formalisiert:

Für \( n \in \mathbb N\) setze

$$f_n\;:\; [0,1]\longrightarrow \mathbb R \text{ mit } f_n(x) = \left\{ \begin{array}{ll} n^2\cdot (n+1) & x\in \left[\frac 1{n+1},\frac 1n\right] \\ 0 & \text{sonst} \end{array} \right.$$

Dann ist $$\int_0^1 f_n(x)\;dx = n^2(n+1)\int_{\frac 1{n+1}}^{\frac 1{n}}1\; dx = n$$

und es gilt

$$\lim_{n\to\infty}f_n(x) = 0 \text{ für alle } x\in [0,1].$$