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Aufgabe:

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Text erkannt:

Es seien a,bR a, b \in \mathbb{R} mit a<b a<b . Finden Sie eine Folge von Riemann-integrierbaren Funktionen auf [a,b] [a, b] so, dass
limnabfn(x)dx \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \int \limits_{a}^{b} f_{n}(x) \mathrm{d} x
nicht existert, aber p.w.
limnfn=f \lim \limits_{n \rightarrow \infty} f_{n}=f
für eine beschränkte Funktion f f gilt.



Problem/Ansatz:

Wie gehe ich hier ran? Ich komme nicht weiter

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Formalisiere die Idee :

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1 Antwort

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Beste Antwort

Eine ganz simple Folge Riemann-integrierbarer Funktionen:

Guckst du hier

(Nutze den Schieberegler für nn und beobachte auch das Integral in Zeile 6)


Formalisiert:

Für nN n \in \mathbb N setze

fn   :   [0,1]R mit fn(x)={n2(n+1)x[1n+1,1n]0sonstf_n\;:\; [0,1]\longrightarrow \mathbb R \text{ mit } f_n(x) = \left\{ \begin{array}{ll} n^2\cdot (n+1) & x\in \left[\frac 1{n+1},\frac 1n\right] \\ 0 & \text{sonst} \end{array} \right.

Dann ist 01fn(x)  dx=n2(n+1)1n+11n1  dx=n\int_0^1 f_n(x)\;dx = n^2(n+1)\int_{\frac 1{n+1}}^{\frac 1{n}}1\; dx = n

und es gilt

limnfn(x)=0 fu¨r alle x[0,1].\lim_{n\to\infty}f_n(x) = 0 \text{ für alle } x\in [0,1].

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