In der folgenden Aufgabe soll x errechnet werden: log_3(x) - 2*log_x(3) = 1

Question

log ₃ x - 2*log _x 3 = 1

ist ja dann log ₃ x - log _x 9 = 1

Dann komme ich über log-Gesetze nicht weiter, sondern nur so:

Ich komme über ein Gleichungssystem

I.    3 ^y = x

II.   x ^z = 9

III. y - z = 1 umgestellt: y = 1 - z in die I. eingesetzt irgendwann auf x₁=9 und x₂=1/3

geht es auch rein über die Logarithmengesetze und entsprechendes Umstellen?

Answer 1

Dein Verfahren ist doch sehr schön.

Da ist es mir fast schon zuwider die Alternative zu präsentieren :).


Dir ist bekannt, dass \(\log_a(b) = \frac{\log(b)}{\log(a)}\) ist?

Das genutzt ergibt sich:

$$\frac{\log(x)}{\log(3)} - 2\frac{\log(3)}{\log(x)} = 1$$

Auf einen Nenner gebracht:

$$\frac{\log(x)^2 - 2\log(3)^2}{\log(3)\log(x)} = 1$$

Nun substituiere \(\log(x) = u\) und löse die quadratische Gleichung. Danach resubstituieren. Das spar ich mir jetzt aber. Das Prinzip verstanden? ;)


Grüße

Comments

Besten Dank, Prinzip verstanden,

ich hatte einfach angenommen, dass ich irgendwas anderes sehr simples übersehen

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Man sollte die von mir erstgenannte Umformung auf jedenfall im Kopf haben. Kann immer mal hilfreich sein. "Simple" oder nicht ist dann Ansichtssache ;).


Gerne