Aloha :)
Wir betrachten die Folge$$y_n\coloneqq\sqrt{1+x_n}\quad;\quad (x_n)\to0\quad;\quad x_n\ge-1$$Von der darin auftauchenden Folge \((x_n)\) wissen wir nur, dass es eine Nullfolge ist. Daher vermuten wir, dass die Folge \((y_n)\) gegen \(y=1\) konvergiert.
Um die zu zeigen, betrachten wir:$$\left|y_n-y\right|=\left|y_n-1\right|=\left|\sqrt{1+x_n}-1\right|=\left|\frac{(\sqrt{1+x_n}-1)\cdot(\sqrt{1+x_n}+1)}{(\sqrt{1+x_n}+1)}\right|$$$$\phantom{\left|y_n-y\right|}=\left|\frac{(\sqrt{1+x_n})^2-1^2}{(\sqrt{1+x_n}+1)}\right|=\left|\frac{(1+x_n)-1}{(\sqrt{1+x_n}+1)}\right|=\left|\frac{x_n}{(\sqrt{1+x_n}+1)}\right|\le|x_n|$$Die letzte Abschätzung gilt, weil die Wurzel im Nenner stets \(\ge0\) ist, sodass wir durch Weglassen derselben den Nenner verkleinern.
Da \((x_n)\) eine Nullfolge ist, gibt es für jedes beliebig gewählte \(\varepsilon>0\) ein \(n_0\in\mathbb N\), sodass \(|x_n-0|<\varepsilon\) für alle \(n\ge n_0\) gilt. Für dasselbe \(\varepsilon\) und dasselbe \(n_0\) gilt nach der obigen Abschätzung aber auch:$$|y_n-1|\le|x_n|\le|x_n-0|<\varepsilon\quad\text{für }n\ge n_0$$Daher konvergiert \((y_n)\) gegen \(y=1\).
