Nullstellen berechnen bei x^4

Question

Aufgabe: Wie kann ich die Nullstellen berechnen? y=1/4(x^4-2x³-3x²+4x+1)

…

Problem/Ansatz: bei hoch vier Aufgaben, habe ich Problem.

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Der Faktor \(\frac14\) ist für die Nullstellensuche unerheblich. Betrachte \(f(x)=x^4-2x^3-3x^2+4x+1\).
Eine Wertetabelle wie die folgende$$\begin{array}{r|r}x&f(x)\\\hline-2&13\\-1&-3\\0&1\\1&1\\2&-3\\3&13\end{array}$$lässt vermuten, dass \(f\) achsensymmetrisch zu \(x=\frac12\) ist. In der Tat ist$$f(x)=(x-\tfrac12)^4-\tfrac92(x-\tfrac12)^2+\tfrac{33}{16}.$$

Answer 1

1/4·(x^4 - 2·x^3 - 3·x^2 + 4·x + 1) = 0

Wenn man ganzzahlige Nullstellen hätte müssten das Teiler von 1 sein. Also ± 1. Keines davon ist aber eine ganzzahlige Nullstelle.

Wenn das so ist, kommt man mit einem Näherungsverfahren oder einem guten Taschenrechner am schnellsten weiter.

Der Taschenrechner findet 4 Nullstellen bei etwa:

x = -1.495507656 ∨ x = -0.2196868710 ∨ x = 1.219686871 ∨ x = 2.495507656

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Man kann zunächst auch die Extremstellen und Extrempunkte bestimmen.

Extremstellen wären bei x = 0.5 ∨ x = 2 ∨ x = -1

Das hilft dann die Lage der Nullstellen einzugrenzen.

Skizze

~plot~ 1/4(x^4-2x^3-3x^2+4x+1);{-1|-0.75};{0.5|0.516};{2|-0.75};[[-3|4|-1|1]] ~plot~

Answer 2

Falls es eine ganzzahlige Nullstelle gibt, muss sie ein Teiler der Absolutglieds sein.

Hier kommen nur 1 oder -1 in Frage.

Eine Probe zeigt, dass beide Zahlen keine Nullstellen sind. Hier helfen nur Näherungsverfahren oder grafische Hilfsmittel.

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Stichwort "grafische Hilfsmittel":

Nachträglich stelle ich fest, dass der Funktionsgraph (ich habe ihn ohne den Fakttor 1/4 gezeichnet) achsensysmmetrisch zu x=0,5 zu sein scheint.

Damit wäre der Ansatz

x^4-2x³-3x²+4x+1=(x-0,5)^4+a(x-0,5)^2 +b

möglich. Nach Bestimmung von a und b kann mit der Substitution z=(x-0,5)^2 die Gleichung

z^2  + az + b = 0 gelöst werden.

PS: Auf diese Idee ist auch Arsinoë4 gekommen und hat die entsprechenden Werte für a und b bereits in seinem Kommentar genannt.