Der Inhalt der von f im Intervall festgelegten Fläche

Question

Aufgabe:

Zeige, dass der Graph der Funktion f mit f(x) = 1/20x^3 (x-5)^2 + 2 genau einen Hochpunkt H(h₁ / h₂) und einen Tiefpunkt T(t₁ / t₂) mit h₁ kleiner t₁ hat und Berechne den Inhalt der von f im Intervall (h₁ / t₁) festgelegten Fläche

Answer 1

Hast du schon einmal daran gedacht, die erste Ableitung zu bilden und das Ergebnis sinnvoll zu verwenden?

(Über das sinnvolle Verwenden kannst du später nachdenken. Wie lautet deine erste Ableitung?)

Comments

f(x)= 1/4x^4-2x^3+15/4x^2

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Das ist die erste Ableitung. Der gesuchte Hoch- und Tiefpunkt der Funktion sind jeweils bei einer ihrer drei Nullstellen.

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Ich bekomme 5 und 3 wie bestimme ich rechnerisch ob es sich um eine Hoch-bzw. Tiefpunkt handelt?

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Ich bekomme 5 und 3

\(x=0\) wäre auch noch eine Nullstelle von \(f'(x)\)

wie bestimme ich rechnerisch ob es sich um eine Hoch-bzw. Tiefpunkt handelt?

indem Du die gefundenen Werte der Nullstellen in die zweite(!) Ableitung \(f''(x)\) einsetzt. Ist der Wert größer als 0, so war es ein Minimum (Tiefpunkt), ist der Wert kleiner als 0, so ist es ein Maximum (Hochpunkt).

Wenn der Wert identisch 0 ist, so muß man die nächste (dritte) Ableitung bilden. Ist dieser Wert nicht mehr 0, so ist es ein Sattelpunkt. Hinweis:$$f'''(x)=\frac32\left(2x^2-8x+5\right)$$

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Ich berechne das Integral von 1/20x^3(x-5)^2+2 mit den Grenzen 5 und 3 aber ich bekomme jedes mal ein anderes Ergebnis.

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Wenn Du das Integral berechnest, so musst Du es zuerst 'expandieren' - also$$f(x)=\frac1{20}x^3(x-5)^2+2\\\phantom{f(x)}=\frac1{20}x^3(x^2-10x+25) +2\\\phantom{f(x)}=\frac1{20}\left(x^5-10x^4+25x^3\right)+2$$Was hast Du heraus, wenn Du es integrierst - zunächst ohne Grenzen:$$\frac1{20}\int \left(x^5-10x^4+25x^3+40\right)\,\text dx = \space ?$$

... aber ich bekomme jedes mal ein anderes Ergebnis.

Tipp: bevor Du es rechnest, solltest Du die Fläche grob schätzen. Du hast sicher irgendein Tool oder GTR, mit dem Du Dir den Graphen der Funktion ansehen kannst.

https://www.desmos.com/calculator/1zknrelgbj

ich schätze die Fläche auf einen Wert zwischen 9 und 10.

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Ich bekomme x^6/120-10x^5/100+ 25x^4/ 80+2x

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Ich habe die Lösung, danke dir vielmals!

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Ich habe die Lösung

prima - zur Kontrolle. Ich habe \(F=\frac{149}{15}\) also knapp unter 10

Answer 2

Wenn das immer noch zu kompliziert oder zu abstrakt ist, kann ein GTR es anschaulicher machen.

Gefragt wird nach der blauen Fläche. Den Weg zum Ziel zeigt Dir gerade Abakus andernorts auf dieser Seite.

Comments

bei der Fläche kommt bei mir wenn ich den Tiefpunkt und Hochpunkt als Grenzen einsetze -4356 ich bekomme ein falsches Ergebnis

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bei der Fläche kommt bei mir ... -4356

Das ist offensichtlich falsch, weil negativ.

Den Weg zum Ziel zeigt Dir gerade Abakus andernorts auf dieser Seite.