Aufgabe:
Sortieren der Terme und Anwenden des binomischen Lehrsatzes ergibt
\( \begin{aligned} \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{15}{2^{2 n}+n^{3}} \sum \limits_{k=0}^{n} 3^{k-1} \cdot\left(\begin{array}{l} n \\ k \end{array}\right) &=\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{15}{3} \cdot \frac{1}{4^{n}+n^{3}} \sum \limits_{k=0}^{n}\left(\begin{array}{l} n \\ k \end{array}\right) \cdot 3^{k} \\ &=\lim \limits_{n \rightarrow \infty} 5 \cdot \frac{(3+1)^{n}}{4^{n}+n^{3}} \\ &=\lim \limits_{n \rightarrow \infty} 5 \cdot \frac{4^{n}}{4^{n}+n^{3}} \\ &=5 . \end{aligned} \)
Problem/Ansatz:
Mir ist nicht ganz klar,warum der Grenzwert dieser Folge 5 ist.Meine Überlegung ist,dass 4 hoch n schneller wächst als n hoch 3 .
