Der Fallschirmspringer, die Integralgleichung und das Geogebra

Question

Aufgabe:

Hallo! Ich muss folgende Gleichung berechnen, um bei einer Aufgabe die Zeit zu berechnen:

Ausgangsfunktion: v_1(t) = (51 / (t - 29)² + 5)- 56*ℯ^-7.5

Gleichung: Integral(v_1, 30, x)=2544

Problem/Ansatz:

Ich hätte wie üblich Geogebra verwendet zur Berechnung, es hat eine Unbekannte X und die Gleichung lässt sich irgendwie nicht ausrechnen in Geogebra. Das Ergebnis soll 532 Sekunden sein.

Gibt es hier einen bestimmten Befehl, wenn man mit einer Unbekannte arbeitet? Oder wie lässt sich sowas sonst mithilfe von Geogebra berechnen?

Danke im Voraus.

Wenn ihr die Aufgabenstellung braucht, hier: https://www.matura.gv.at/fileadmin/user_upload/downloads/Matura-2019-20/MA/PT1/KL20_PT1_AHS_MAT_00_DE_AU.pdf - Aufgabe 25 (Teil 2) Frage b) 2)

Comments

Gleichung lösen mit Unbekannte mittels Geogebra

Ist nicht immer etwas Unbekanntes im Spiel, wenn man eine Gleichung lösen soll?

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ja schon, bei mir kommt aber bei weitem nicht dieselbe Lösung raus

Text erkannt:

Integral(v_1, 30, x)=2544
\( \rightarrow \frac{5 x^{2}+3304 \times \frac{1}{\sqrt{e^{15}}}-56 x^{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{e^{15}}}-48720 \cdot \frac{1}{\sqrt{e^{15}}}-244 x+2820}{x-29}=2544 \)
Löse(Integral \( \left.\left(v_{-} 1,30, x\right)=2544\right) \)
\( 2 \rightarrow\left\{x=\frac{1652 \cdot \frac{1}{\sqrt{e^{13}}} e^{15}-1394 e^{15}+4 \sqrt{-4550 \cdot \frac{1}{\sqrt{e^{15}}}\left(e^{15}\right)^{2}+97516\left(e^{15}\right)^{2}+49 e^{15}}}{56 \cdot \frac{1}{\sqrt{e^{15}}} e^{15}-5 e^{15}}, x=\frac{1652 \cdot \frac{1}{\sqrt{e^{11}}} e^{15}-1394 e^{15}-4 \sqrt{-4550 \cdot \frac{1}{\sqrt{e^{15}}}}\left(e^{15}\right)^{2}}{56 \cdot \frac{1}{\sqrt{e^{15}}} e^{15}-5 e^{15}}\right. \)

das "spuckt" mir Geogebra aus, ich weiß nicht wie man genau mit dem Ausdruck die 532 Sekunden berechnet

(Die Funktion selbst ist auch eingezeichnet)

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Dann kopiere ich mal die vollständige Aufgabe 2b von dorther hierhin, damit die Hilfswilligen es nicht selber suchen müssen:

Bei einem Fallschirmsprung aus einer Höhe von 4000 m über Grund wird 30 s nach dem Absprung der Fallschirm geöffnet.

Für \( t \in[0 ; 30] \) gibt die Funktion \( v_{1} \) mit \( v_{1}(t)=56-56 \cdot e^{\large-\frac{t}{4}\normalsize} \) (unter Berücksichtigung des Luftwiderstands) die Fallgeschwindigkeit des Fallschirmspringers zum Zeitpunkt \( t \) an (\( t \) in s nach dem Absprung, \( v_{1}(t) \) in \( \left.m / s\right)\).

Für \( t \geq 30 \) gibt die Funktion \( v_{2} \) mit \( v_{2}(t)=\large\frac{51}{(t-29)^{2}}\normalsize+5-56 \cdot e^{-7,5} \) die Fallgeschwindigkeit des Fallschirmspringers zum Zeitpunkt \( t \) bis zum Zeitpunkt der Landung an (\(t\) in s nach dem Absprung, \(v_{2}(t) \) in \(\left.\mathrm{m} / \mathrm{s}\right) \). Modellhaft wird angenommen, dass der Fallschirmsprung lotrecht ist.

Berechnen Sie die Zeitdauer des gesamten Fallschirmsprungs vom Absprung bis zur Landung.

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In Ergänzung zu GGB CAS

im Toolbar zum CAS findest Du

[ = ] Symbolic Eva...

[ ≈ ] Numeric Eva...

Wenn Du das Integral (Zeile 2) in Symbolic ausgewertet hast - einfach in der nachfolgen zeile eine Numeric Eva nachschalten oder auch die Integral-Zeile Numeric nachrechnen für ein gerundetes Ergebnis...

Wieso rundest Du die Zwischenschritte?

Answer 1

Generell kannst du solche Aufgaben im CAS-Fenster lösen. Dafür musst du dann Löse eingeben. Deine Eingabe soll folgende Struktur haben:

Löse(Gleichung, Unbekannte)

Hoffentlich hilft dir das weiter und viel Erfolg bei der Matura!

Comments

erstmal danke :)

habe ich versucht, aber Geogebra "spuckt" mir ein komplett verwirrenden Ausdruck aus, siehe folgendes Bild:

Text erkannt:

Integral \( \left(v_{-} 1,30, x\right)=2544 \)
\( \rightarrow \frac{5 x^{2}+3304 \times \frac{1}{\sqrt{e^{15}}}-56 x^{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{e^{15}}}-48720 \cdot \frac{1}{\sqrt{e^{15}}}-244 x+2820}{x-29}=2544 \)
Löse(Integral \( \left.\left(v_{-} 1,30, x\right)=2544\right) \)
\( 2 \rightarrow\left\{x=\frac{1652 \cdot \frac{1}{\sqrt{e^{15}}} e^{15}-1394 e^{15}+4 \sqrt{-4550 \cdot \frac{1}{\sqrt{e^{15}}}\left(e^{15}\right)^{2}+97516\left(e^{15}\right)^{2}+49 e^{15}}}{56 \cdot \frac{1}{\sqrt{e^{15}}} e^{15}-5 e^{15}}, x=\frac{1652 \cdot \frac{1}{\sqrt{e^{15}}} e^{15}-1394 e^{15}-4 \sqrt{-4550} \cdot \frac{1}{\sqrt{e^{15}}}\left(e^{15}\right)^{2}}{56 \cdot \frac{1}{\sqrt{e^{15}}} e^{15}-5 e^{15}}\right. \)
Löse \( \left(\right. \) Integral \( \left.\left(v_{-} 1,30, x\right)=2544, x\right) \)
\( 3 \rightarrow\left\{x=\frac{1652 \cdot \frac{1}{\sqrt{e^{15}}} e^{15}-1394 e^{15}+4 \sqrt{-4550} \cdot \frac{1}{\sqrt{e^{15}}}\left(e^{15}\right)^{2}+97516\left(e^{15}\right)^{2}+49 e^{15}}{56 \cdot \frac{1}{\sqrt{e^{15}}} e^{15}-5 e^{15}}, x=\frac{1652 \cdot \frac{1}{\sqrt{e^{15}}} e^{15}-1394 e^{15}-4 \sqrt{-4550} \cdot \frac{1}{\sqrt{e^{15}}}\left(e^{15}\right)^{2}}{56 \cdot \frac{1}{\sqrt{e^{15}}} e^{15}-5 e^{15}}\right. \)

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Hab einen Weg gefunden:

zuerst die Gleichung in das CAS eingeben und diese Beschriften (ich schreib immer A oder B oder I oder II mit einem Doppelpunkt und gebe dann die Gleichung ein), dann NLöse( <Liste von Gleichungen>, <Liste von Variablen> )

bei Liste von Variablen die Variable eingeben, die gesucht wird (in dem Fall x)

bei Liste von Gleichungen entweder A oder I.

mit geschwungener Klamer {}

Also: NLöse({I},{x})

damit ist bei mir das Ergebnis rausgekommen.

Text erkannt:

I:Integral \( \left(\left(51 /(t-29)^{2}\right)+5-56^{*} e^{n}-7.5,30, x\right)=2544 \)
\( \rightarrow 1: \frac{5 x^{2}+3304 \times \frac{1}{\sqrt{e^{15}}}-56 x^{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{e^{15}}}-48720 \cdot \frac{1}{\sqrt{e^{15}}}-244 x+2820}{x-29}=2544 \)
\( 5 \quad \operatorname{NLöse}(\{\mid\},\{x\}) \)
\( \rightarrow\{x=531.73\} \)
\( 6 \quad \operatorname{NLöse}(\{\mid\},\{x\}) \)
\( \rightarrow\{x=531.73\} \)

Answer 2

Nicht mit Geogebra, aber ich würde es so machen:

Die Strecke ist das Integral der Geschwindigkeit über die Zeit. Die untenstehende Gleichung nach x aufgelöst ergibt die Falldauer.

\( \underbrace{\int \limits_{0}^{30}\left(56-56 e^{-t / 4}\right) d t}_{\text{freier Fall}} + \underbrace{\int \limits_{30}^{x}\left(\large\frac{51}{(t-29)^{2}}\normalsize+5- 56 \cdot e^{-7,5}\right) d t}_{\text{geöffneter Schirm}}=4000 \)

Die Lösung für die obere Integrationsgrenze (Zeitpunkt der Landung) ist dann x ≈ 531,703

CAS geben üblicherweise eine exakte Lösung aus wenn man das 7,5 als 75/10 schreibt und nur eine angenäherte Lösung, wenn man es als 7,5 schreibt.