Hintereinanderausführungen berechnen mittels Ableitungsregeln

Question

Aufgabe:

Hallo alle!

Es geht hier wieder um die Hintereinanderausführungen. Ich soll mittels Kettenregel die Hintereinanderführung der Funktionen bestimmen. Was ist der Unterschied zwischen f * g und g * f? Wie muss ich da genau vorgehen?

f) \( (g \circ f)^{\prime}(a) \) mit \( f(t)=\left(\begin{array}{c}t^{2} \\ t-1\end{array}\right) \) und \( g(x, y)=\left(\begin{array}{c}x-y^{2} \\ x y \\ 2 y\end{array}\right) \)
g) \( (f \circ g)^{\prime}(a, b) \) mit \( f(s, t)=\left(\begin{array}{c}-t^{2} \\ s-t\end{array}\right) \operatorname{und} g(x, y, z)=\left(\begin{array}{c}x z-y^{2} \\ 2 x z+2 y\end{array}\right) \)
h) \( (f \circ g)^{\prime}(a, b) \) mit \( f(r, s, t)=r+2 s+t s \) und \( g(x, y)=\left(\begin{array}{c}x-2 y^{2} \\ y^{2}-x^{2} \\ x y\end{array}\right) \)

Problem/Ansatz:

ich hab hier mal einen Ansatz formuliert:

f) \( (g \circ f)^{\prime}(a) \quad f(t)=\left(\begin{array}{c}t^{2} \\ t-1\end{array}\right) y \quad g(x, y)=\left(\begin{array}{c}x-y^{2} \\ x y \\ 2 y\end{array}\right) \) Jf: \( \left(\begin{array}{c}2 t \\ 1\end{array}\right) \)
\( g g:\left(\begin{array}{cc}1 & -2 y \\ y & x \\ 0 & 2\end{array}\right) \)
\( (g \circ f)^{\prime}(a)=\left(\begin{array}{cc}1 & -2 y \\ 4 & x \\ 0 & 2\end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{c}2 t \\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2 t+1 & -4 y t-2 y \\ 8 t+x & 2 x t+x \\ 0 & 4 t+2\end{array}\right)= \)
\( =\left(\begin{array}{ll}2 t+1 & -4 \cdot(t-1) \cdot t-2 \cdot(t-1) \\ 8 t+t^{2} & 2 t^{2} \cdot t+t^{2} \\ 0 & 4 t+2\end{array}\right) \) \( =\left(\begin{array}{cc}2 t+1 & -4 t+4) \cdot t-2 t+2 \\ 8 t+t^{2} & 2 t^{3}+t^{2} \\ 0 & 4 t+2\end{array}\right) \)

Answer 1

Aloha :)

Wir machen die (1) mal ausführlich zusammen. Zunächst zur Kontrolle die direkte Berechnung ohne Kettenregel:$$(g\circ f)(t)=g(f_1(t);f_2(t))=g(t^2;t-1)=\begin{pmatrix}t^2-(t-1)^2\\t^2(t-1)\\2(t-1)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2t-1\\t^3-t^2\\2t-2\end{pmatrix}\implies$$$$(g\circ f)'(t)=\begin{pmatrix}2\\3t^2-2t\\2\end{pmatrix}$$

Jetzt dieselbe Aufgabe mit der Kettenregel:$$(g\circ f)'(t)=g'(f(t))\cdot f'(t)=\begin{pmatrix}\partial_x(x-y^2) & \partial_y(x-y^2)\\\partial_x(xy) & \partial_y(xy)\\\partial_x(2y) & \partial_y(2y)\end{pmatrix}_{{x=t^2}\atop{y=t-1}}\cdot\begin{pmatrix}2t\\1\end{pmatrix}$$$$\phantom{(g\circ f)'(t)}=\begin{pmatrix}1 & -2y\\y & x\\0 & 2\end{pmatrix}_{{x=t^2}\atop{y=t-1}}\cdot\begin{pmatrix}2t\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & -2t+2\\t-1 & t^2\\0 & 2\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}2t\\1\end{pmatrix}$$$$\phantom{(g\circ f)'(t)}=2t\begin{pmatrix}1\\t-1\\0\end{pmatrix}+1\cdot\begin{pmatrix}-2t+2\\t^2\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2t-2t+2\\2t^2-2t+t^2\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\3t^2-2t\\2\end{pmatrix}$$

Versuch die beiden anderen Aufgaben mal nach dem Schema alleine...

Comments

Vielen Dank Tschakabumba!

Generell habe ich Probleme mit der Matrikmultiplikation, ansonsten sind die Aufgaben verständlich. Also so würde ich die restlichen berechnen:

g) \( f(s, t)=\left(\begin{array}{c}-t^{x} \\ s-t\end{array}\right), \quad g(x, y, z)=\left(\begin{array}{l}x z-y^{2} \\ 2 x z+2 y\end{array}\right) \)
Jf: \( \left(\begin{array}{c}-2 t \\ -1\end{array}\right) \quad J g:\left(\begin{array}{ccc}z & -2 y & x \\ 2 z & 2 & 2 x\end{array}\right) \)
\( \left(\begin{array}{c}-2 t \\ -1\end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{ccc}z & -2 y & x \\ 2 z & 2 & 2 x\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}-2 t z-2 t \cdot 2 z & 4 t y-4 t & -2 t x-4 t x \\ -z-2 z & 2 y-2 & -x-2 x\end{array}\right) \)
\( x=-2 t \)
\( y=-1 \)
\( =\left(\begin{array}{ccc}-2 t z-4 t z & -4 t-4 t & -2 t(-2 t)-4 t(-2 t) \\ -3 z & -2-2 & 2 t-2 \cdot(-2 t)\end{array}\right) \)
\( =\left(\begin{array}{ccc}-6 t z & -8 t & 12 t^{2} \\ -3 z & -4 & 6 t\end{array}\right) \)
\( \left.\begin{array}{c}4 t^{2}+8 t^{2} \\ 2 t+4 t\end{array}\right) \)

h) \( f(r, s, t)=r+2 s+t s \quad g(x, y)=\left(\begin{array}{c}x-2 y^{2} \\ y^{2}-x^{2} \\ x y\end{array}\right) \)
If: \( \left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 0\end{array}\right) \quad g J:\left(\begin{array}{cc}1 & -4 y \\ -2 x & 2 y\end{array}\right) \)
\( f \circ g=\left(\begin{array}{cc} 1 & -4 y \\ -2 x & 2 y \\ y & x \end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{lll} 1 & 2 & 0 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} 1 & -4 y \\ -4 x & 4 y \\ 5 y & x s \end{array}\right) \)