Unterraum von P2 zeigen

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie, dass

U := {p∈P2 : 2p(0)=p′(1)}
ein Unterraum von P2 ist und bestimmen Sie eine Basis und die Dimension von U.
[Tipp: Beschreiben Sie U als Spannraum geeigneter Polynome.]

Problem/Ansatz:

Kann bitte jemand mir zeigen oder Tipps geben wie ich die Aufgabe lösen kann?

Answer 1

Zur Unterraum-Überprüfung<.

zeige: \(p,q\in U\Rightarrow p+q\in U\),

d.h. \(2(p+q)(0)=(p+q)'(1)\),

und \(2(\lambda\cdot p)(0)=(\lambda\cdot p)'(1)\).

Ist \(p(x)=ax^2+bx+c\in U\). Dann ist \(p'(x)=2ax+b\) und daher

wegen \(2p(0)=p'(1)\): \(2c=2a+b\), d.h. a,b,c sind Lösungen

des LGS \(2a+b-2c=0\) mit Koeffizienten-"Matrix" \((2,1,-2)\).

Diese hat den Rang 1, so dass \(U\) als Lösungsraum die Dimension 3-1=2

hat. Eine Basis von \(U\) ist \(\{x^2-2x,\; 2x+1\}\).